定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x.y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数, (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立——青夏教育精英家教网—

定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x.y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数, (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立.求实数k的取值范围．分析:欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f成立．在式子f中.令y=-x可得f于是又提出新的问题.求f(0)的值．令x=y=0可得f=0.f(x)是奇函数得到证明． +f. ① 令x=y=0.代入①式.得f.即 f(0)=0．令y=-x.代入①式.得 f.又f(0)=0.则有 0=f=-f(x)对任意x∈R成立.所以f(x)是奇函数． =log3＞0.即f在R上是单调函数.所以f(x)在R上是增函数.又由是奇函数． f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2). k·3＜-3+9+2. 3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．令t=3＞0.问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．综上所述: 对任意x∈R恒成立. 说明:问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数.把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法: 分离系数由k·3＜-3+9+2得要使对不等式恒成立. 只需k< 上述解法是将k分离出来.然后用平均值定理求解.简捷.新颖． [探索题] 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

定义在R上的单调函数f (x)满足f (3) = log₂3且对任意x，y∈R都有f (x + y) = f (x) + f (y)．

（Ⅰ）求证f (x)为奇函数；

（Ⅱ）若f (k?3^x) + f (3^x 9^x 2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

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（13分）定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log₂3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．