如图3.四面体A-BCD.AB⊥面BCD.CD⊥面BCA.这种四面体构成许多简单多面体的基本图形.不妨称为双垂四面体.主要性质: (1)它的四个面都是直角三角形, (2), (3)以BD.BC和——青夏教育精英家教网—

如图3.四面体A-BCD.AB⊥面BCD.CD⊥面BCA.这种四面体构成许多简单多面体的基本图形.不妨称为双垂四面体.主要性质: (1)它的四个面都是直角三角形, (2), (3)以BD.BC和AC为棱的二面角都是直二面角.以AB.BC为棱的二面角的平面角.分别是与, (4)以AD为棱的二面角为.则, (5)对棱AB与CD垂直.且BC是它们的公垂线, (6)对棱AD与BC为异面直线.它们夹角为.则.等等. 例3 如图4.ABCD是上下底长分别为2和6.高为的等腰梯形.将它沿对称轴OO1拆成直二面角.如图5. (1)证明:AC⊥BO1, (2)求二面角O-AC-O1的大小. 解:(1)略 (2)∵平面AOO1⊥平面OO1C.又∵AO⊥O1C.∴AO平面OO1C.同理CO1⊥平面AOO1.四面体AOO1C是一个双垂四面体.若二面角O-AC-O1的平面角为.则.根据条件.从图5中可知AO＝3.OC＝2..CO1＝1.即可自得. 例4 如图6.直二面角D-AB-E中.四边形ABCD是边长为2的正方形.AE＝EB.F为CE上的点.且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥平面BCE, (2)求二面角B-AC-E的大小, (3)求点D到平面ACE的距离. 分析:当(1)证明后.我们很容易识别四面体A-EBC是一个双垂四面体.若二面角B-AC-E的平面角为.则.由条件可以计算出AB＝CB=2,AE=..∴. 值得注意的是此题的(3)并不需要用等积变换.根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比.∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离.也就是线段BF的长为利用典型立体几何模型解高考题:1. 如图3所示.在四面体中.已知. ．是线段上一点..点在线段上.且． (Ⅰ)证明:, (Ⅱ)求二面角的大小． [答案]: (Ⅰ)证明:在中. ∵ ∴ ∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形. 同理可证.△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形. △PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．在中.∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 知PB⊥CE.PA⊥平面ABC ∴AB是PB在平面ABC上的射影.故AB⊥CE ∴CE⊥平面PAB.而EF平面PAB. ∴EF⊥EC. 故∠FEB是二面角B-CE-F的平面角. ∵ ∴. ∴二面角B-CE-F的大小为．【查看更多】

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四面体A－BCD被平行于棱AB，CD的平面EFGH所截（如图），其中，，则当四过形EFGH面积最大时，AH∶HC等于（　　）