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    3．反证法:欲证“若p则q 为真命题.从否定其 出发.经过正确的逻辑推理导出矛盾.从而判定原命题为真.这样的方法称为反证法． 典型例题 例1. 下列各组命题中.满足“p或q 为真.“p且q 为假.“非p 为真的是 ( ) A．p:0＝,q:0∈ B．p:在ABC中.若cos2A＝cos2B.则A＝B, y＝sinx在第一象限是增函数 C．,不等式的解集为 D．p:圆的面积被直线平分,q:椭圆的一条准线方程是x＝4 解:由已知条件.知命题p假且命题q真.选项(A)中命题p.q均假.排除,选项(B)中. 命题p真而命题q假.排除,选项(D)中.命题p和命题q都为真.排除,故选(C)． 变式训练1:如果命题“p或q 是真命题.“p且q 是假命题.那么( ) A．命题p和命题q都是假命题 B．命题p和命题q都是真命题 C．命题p和命题“非q 真值不同 D．命题q和命题p的真值不同 解: D 例2. 分别写出下列命题的逆命题.否命题.逆否命题.并判断它们的真假: (1) 若q<1.则方程x2+2x+q＝0有实根, (2) 若ab＝0.则a＝0或b＝0, (3) 若x2+y2＝0.则x.y全为零. 解:(1)逆命题:若方程x2+2x+q＝0有实根.则q＜1.为假命题．否命题:若q≥1.则方程x2+2x+q＝0无实根.为假命题．逆否命题:若方程x2+2x+q＝0无实根.则q≥1.为真命题． (2)逆命题:若a＝0或b＝0.则ab＝0.为真命题． 否命题:若ab≠0.则a≠0且b≠0.为真命题． 逆否命题:若a≠0且b≠0.则ab≠0.为真命题． (3)逆命题:若x.y全为零.则x2+y2＝0.为真命题． 否命题:若x2+y2≠0.则x.y不全为零.为真命题． 逆否命题:若x.y不全为零.则x2+y2≠0.为真命题． 变式训练2:写出下列命题的否命题.并判断原命题及否命题的真假: (1)如果一个三角形的三条边都相等.那么这个三角形的三个角都相等, (2)矩形的对角线互相平分且相等, (3)相似三角形一定是全等三角形. 解:(1)否命题是:“如果一个三角形的三条边不都相等.那么这个三角形的三个角也不都相等 . 原命题为真命题.否命题也为真命题. (2)否命题是:“如果四边形不是矩形.那么对角线不互相平分或不相等 原命题是真命题.否命题是假命题. (3)否命题是:“不相似的三角形一定不是全等三角形 . 原命题是假命题.否命题是真命题. 例3. 已知p:有两个不等的负根.q:无实根．若p或q为真.p且q为假.求m的取值范围． 分析:由p或q为真.知p.q必有其一为真.由p且q为假.知p.q必有一个为假.所以.“p假且q真 或“p真且q假 .可先求出命题p及命题q为真的条件.再分类讨论． 解:p:有两个不等的负根． q:无实根． 因为p或q为真.p且q为假.所以p与q的真值相反． (ⅰ) 当p真且q假时.有, (ⅱ) 当p假且q真时.有． 综合.得的取值范围是{或}． 变式训练3:已知a>0,设命题p:函数y=ax在R上单调递减.q:不等式x+|x-2a|>1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为真命题.求a的取值范围. 解 : 由函数y=ax在R上单调递减知0<a<1.所以命题p为真命题时a的取值范围是0<a<1,令y=x+|x-2a|, 则y=不等式x+|x-2a|>1的解集为R.只要ymin>1即可.而函数y在R上的最小值为2a.所以2a>1.即a>即q真a>若p真q假,则0<a≤若p假q真.则a≥1,所以命题p和q有且只有一个命题正确时a的取值范围是0<a≤或a≥1. 例4. 若a.b.c均为实数.且a＝x2-2y+.b＝y2-2z+.c＝z2-2x+．求证:a.b.c中至少有一个大于0． 证明:假设都不大于0.即 .则 而 ＝ .． 相矛盾．因此中至少有一个大于0． 变式训练4:已知下列三个方程:①x2+4ax-4a+3＝0.②x2+(a-1)x+a2＝0.③x2+2ax-2a＝0中至少有一个方程有实根.求实数a的取值范围. 解:设已知的三个方程都没有实根． 则 解得． 小结归纳 故所求a的取值范围是a≥-1或a≤-． 【查看更多】

     

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