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    3．实际问题中有关术语.名称． (1)仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中.目标视线在水平视线上方的角叫仰角,在水平视线下方的角叫俯角 (2)方位角:指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典型例题 例1．(1)某人朝正东方走km后.向左转1500.然后朝新方向走3km.结果它离出发点恰好km.那么等于 (A) (B) (C)或 (D)3 解:C 提示:利用余弦定理 (2)甲.乙两楼相距.从乙楼底望甲楼顶的仰角为.从甲楼顶望乙楼顶的俯角为.则甲.乙两楼的高分别是 A B C D 解:A (3)一只汽球在的高空飞行.汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A点处的俯角为.汽球向前飞行了后.又测得A点处的俯角为.则山的高度为( ) A B C D 解: B (4)已知轮船A和轮船B同时离开C岛.A向北偏东方向.B向西偏北方向.若A的航行速度为25 nmi/h.B的速度是A的.过三小时后.A.B的距离是 ． 解:90.8 nmi (5) 货轮在海上以40km/h的速度由B到C航行. 航向为方位角.A处有灯塔. 其方位角.在C处观测灯塔A的 方位角.由B到C需航行半小时. 则C到灯塔A的距离是 解:km 提示:由题意知 .利用余弦定理或解直角三角形可得 变式训练1:如图.当甲船位于A处时获悉.在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援.同时把消息告知在甲船的南偏西30.相距10海里C处的乙船.试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1)? 解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102-2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=10. ∵, ∴sin∠ACB=, ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援. 例2. 在某海滨城市附近海面有一台风.据检测.当前台风中心位于城市O的东偏南方向300 km的海面P处.并以20 km / h的速度向西偏北的方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域.当前半径为60 km .并以10 km / h的速度不断增加.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?持续多长时间? 解:设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则 由余弦定理知 由于PO=300,PQ=20t 故 即 解得 答:12小时后该城市受到台风的侵袭.侵袭的时间将持续12小时． 变式训练2:如图所示,海岛A周围38海里内有暗礁.一艘船向正南方向航行.在B处测得岛A在船的南偏东方向上.船航行30海里后.在C处测得岛A在船的南偏东方向上.如果此船不改变航向.继续向南航行.有无触礁危险? 解:由题意得.在△ABC中.BC=30.. 所以 .由正弦定理可知: 所以. 于是A到BC所在直线的距离为 所以船继续向南航行无触礁危险. 例3. 如图所示.公园内有一块边长的等边△ABC形状的三角地. 现修成草坪.图中DE把草坪分成面积相等的两部分.D在AB上. E在AC上. (1)设AD.ED.求用表示的函数关系式, (2)如果DE是灌溉水管.为节约成本希望它最短.DE的位置 应该在哪里?如果DE是参观线路.则希望它最长.DE的 位置又在哪里?请给予证明. 解:(1)在△ABC中.D在AB上. S△ADE=S△ABC .在△ADE中.由余弦定理得: (2)令 .则 则 令 . 则 , 有最小值.此时DE∥BC.且 有最大值.此时DE为△ABC 的边AB或AC的中线上. 变式训练3:水渠道断面为等腰梯形.如图所示.渠道深为.梯形面积为S.为了使渠道的渗水量达到最小.应使梯形两腰及下底之和达到最小.此时下底角应该是多少? 解:设 .则. 所以 设两腰与下底之和为. 则 当且仅当 时.上式取等号.即当时.上式取等号 .所以下角时.梯形两腰及下底之和达到最小． 例4. 如图.半圆O的直径为2.A为直径延长线上的一点.OA=2.B为半圆上任意一点.以AB为一边作等边三角形ABC.问:点B在什么位置时.四边形OACB面积最大? 解:设.在△AOB中.由余弦定理得: 于是.四边形OACB的面积为 S=S△AOB+ S△ABC 因为.所以当..即时. 四边形OACB面积最大． 变式训练4:如图所示.某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处.12时20分测得船在海岛北偏西的B处.12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口.如果轮船始终匀速直线前进.问船速多少? 解:轮船从C到B用时80分钟.从B到E用时20分钟. 而船始终匀速前进.由此可见:BC=4EB.设EB=.则 则BC=4.由已知得 在△AEC中.由正弦定理得: 在△ABC中.由正弦定理得: 在△ABE中.由余弦定理得: 所以船速 答:该船的速度为 km/h 【查看更多】

     

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