3．如下马图.四棱锥P-ABCD的底面是矩形.PA⊥平面ABCD.E.F分别是AB.PD的中点.又二面角P-CD-B为45°. (1)求证:AF∥平面PEC, (2)求证:平面PEC⊥平面PCD, (3)设AD＝2.CD＝2.求点A到平面PEC的距离． 解答:(1)证明:取PC的中点G.连EG.FG. ∵F为PD的中点.∴GF綊CD.CD綊AB.又E为AB的中点. ∴AE綊GF.∴四边形AEGF为平行四边形.∴AF∥GE.因此AF∥平面PEC. (2)证明:PA⊥平面ABCD.则AD是PD在底面上的射影.又ABCD为矩形 ∴CD⊥AD.则CD⊥PD.因此CD⊥AF.∠PDA为二面角P-CD-B的平面角.即∠PDA＝45°.F为Rt△PAD斜边PD的中点.AF⊥PD.PD∩CD＝D. ∴AF⊥平面PCD.由(1)知AF∥EG.∴EG⊥平面PDC. ∵EG⊂平面PEC.∴平面PEC⊥平面PCD. 知AF∥平面PEC.平面PCD⊥平面PEC.过F作FH⊥PC交PC于H.则FH⊥平面PEC.∴FH为F到平面PEC的距离.即A到平面PEC的距离.在△PFH与△PCD中.∠P为公共角. ∠FHP＝∠CDP＝90°.∴△PFH∽△PCD.＝. ∵AD＝2.PF＝.PC＝＝＝4. ∴FH＝·2＝1.∴A到平面PEC的距离为1. 【
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