1正余弦定理的边角互换功能 对于正.余弦定理.同学们已经开始熟悉.在解三角形的问题中常会用到它其实.在涉及到三角形的其他问题中.也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换.即利用它们可以把边的关系转化为角的关系.也可以把角的关系转化为边的关系.从而使许多问题得以解决 例1已知a.b为△ABC的边.A.B分别是a.b的对角.且.求的值 解:∵. ∴ 于是.由合比定理得 例2已知△ABC中.三边a.b.c所对的角分别是A.B.C.且a.b.c成等差数列 求证:sinA+sinC＝2sinB 证明:∵a.b.c成等差数列. ∴a+c＝2b① 又② ③ 将②.③代入①.得整理得sinA+sinC＝2sinB 2正.余弦定理的巧用 某些三角习题的化简和求解.若能巧用正.余弦定理.则可避免许多繁杂的运算.从而使问题较轻松地获得解决.现举例说明如下: 例3求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值 解:原式＝sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150° ∵20°+10°+150°＝180°. ∴20°.10°.150°可看作一个三角形的三个内角 设这三个内角所对的边依次是a.b.c.由余弦定理得:a2+b2-2abcos150°＝c2(※) 而由正弦定理知:a＝2Rsin20°.b＝2Rsin10°.c＝2Rsin150°.代入(※)式得: sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°＝sin2150°＝ ∴原式＝ 例4在△ABC中.三边长为连续的自然数.且最大角是最小角的2倍.求此三角形的三边长 () 分析:由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系.故需利用正弦定理建立边角关系其中利用正弦二倍角展开后出现了cosα.可继续利用余弦定理建立关于边长的方程.从而达到求边长的目的 解:设三角形的三边长分别为x.x+1.x+2.其中x∈N*.又设最小角为α.则 ,① 又由余弦定理可得x2＝(x+1)2+(x+2)2-2(x+1)(x+2)cosα 将①代入②整理得:x2-3x-4＝0 解之得x1＝4.x2＝-1(舍) 所以此三角形三边长为4.5.6 评述: 此题所求为边长.故需利用正.余弦定理向边转化.从而建立关于边长的方程 例5已知三角形的一个角为60°.面积为10cm2.周长为20cm.求此三角形的各边长 分析:此题所给的题设条件除一个角外.面积.周长都不是构成三角形的基本元素.但是都与三角形的边长有关系.故可以设出边长.利用所给条件建立方程.这样由于边长为三个未知数.所以需寻求三个方程.其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦.其二可用面积公式S△ABC＝absinC表示面积.其三是周长条件应用 解:设三角形的三边长分别为a.b.c.B＝60°.则依题意得 ① ② ③ 由①式得:b2＝［20-(a+c)］2＝400+a2+c2+2ac-40(a+c) ④ 将②代入④得400+3ac-40(a+c)＝0 再将③代入得a+c＝13 由 ∴b1＝7.b2＝7 所以.此三角形三边长分别为5cm.7cm.8cm 评述: (1)在方程建立的过程中.应注意由余弦定理可以建立方程.也要注意含有正弦形式的面积公式的应用 (2)由条件得到的是一个三元二次方程组.要注意要求学生体会其求解的方法和思路.以提高自己的解方程及运算能力 【
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