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    1正.余弦定理的综合运用 余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理.若将正弦定理代入得: sin2A＝sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA 这是只含有三角形三个角的一种关系式.利用这一定理解题.简捷明快.下面举例说明之 ［例1］在△ABC中.已知sin2B-sin2C-sin2A＝sinAsinC.求B的度数 解:由定理得sin2B＝sin2A+sin2C-2sinAsinCcosB. ∴-2sinAsinCcosB＝sinAsinC ∵sinAsinC≠0 ∴cosΒ＝- ∴B＝150° ［例2］求sin210°+cos240°+sin10°cos40°的值 解:原式＝sin210°+sin250°+sin10°sin50° 在sin2A＝sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA中.令B＝10°.C＝50°. 则A＝120° sin2120°＝sin210°+sin250°-2sin10°sin50°cos120° ＝sin210°+sin250°+sin10°sin50°＝()2＝ ［例3］在△ABC中.已知2cosBsinC＝sinA.试判定△ABC的形状 解:在原等式两边同乘以sinA得:2cosBsinAsinC＝sin2A. 由定理得sin2A+sin2C-sin2Β＝sin2A. ∴sin2C＝sin2B∴B＝C 故△ABC是等腰三角形 2一题多证 ［例4］在△ABC中已知a＝2bcosC.求证:△ABC为等腰三角形 证法一:欲证△ABC为等腰三角形可证明其中有两角相等.因而在已知条件中化去边元素.使只剩含角的三角函数由正弦定理得a＝ ∴2bcosC＝.即2cosC·sinB＝sinA＝sin(B+C)＝sinBcosC+cosBsinC ∴sinBcosC-cosBsinC＝0 即sin(B-C)＝0.∴B-C＝nπ(n∈Z) ∵B.C是三角形的内角.∴B＝C.即三角形为等腰三角形 证法二:根据射影定理.有a＝bcosC+ccosB. 又∵a＝2bcosC∴2bcosC＝bcosC+ccosB∴bcosC＝ccosB.即 又∵∴即tanB＝tanC ∵B.C在△ABC中.∴B＝C∴△ABC为等腰三角形 证法三:∵cosC＝∴ 化简后得b2＝c2∴b＝c ∴△ABC是等腰三角形 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量=（sinA,b+c），=（a－c,sinC－sinB）,满足=

    （Ⅰ）求角B的大小；

    （Ⅱ）设=（sin（C+）,）, =（2k,cos2A） （k>1）,  有最大值为3，求k的值.

    【解析】本试题主要考查了向量的数量积和三角函数，以及解三角形的综合运用

    第一问中由条件|p +q |=| p －q |，两边平方得p·q＝0，又

    p=（sinA,b+c）,q=（a－c,sinC－sinB）,代入得（a－c）sinA＋（b+c）（sinC－sinB）＝0，

    根据正弦定理，可化为a（a－c）+（b+c）（c－b）=0,

    即，又由余弦定理＝2acosB,所以cosB＝，B＝

    第二问中，m=（sin（C+）,）,n=（2k,cos2A） （k>1）,m·n=2ksin（C+）+cos2A=2ksin（C+B） +cos2A

    =2ksinA+-=-+2ksinA+=-+ （k>1）.

    而0<A<,sinA∈（0,1],故当sin＝1时，m·n取最大值为2k-=3,得k＝.

     

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