教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习回顾提出问题 1．函数零点的概念 2．函数零点与方程根的关系 3．实例探究 已知函数y= x2+4x– 5.则其零点有几个?分别为多少? 生:口答零点的定义.零点与根的关系 师:回顾零点的求法 生:函数y= x2+4x– 5的零点有2个.分别为–5.1 回顾旧知. 引入新知 示例探究引入课题 1．探究函数y = x2 + 4x – 5的零点所在区间及零点存在区间的端点函数值的正负情况的关系 师:引导学生利用图象观察零点的所在区间.说明区间端一般取整数. 生:零点–5∈ 零点1∈(0.2) 且f (–6)·f (–4)＜0 f (0)·f (2)＜0 师:其它函数的零点是否具有相同规律呢?观察下列函数的零点及零点所在区间. ①f (x) = 2x – 1. ②f (x) = log2(x – 1) 生:函数f (x) = 2x – 1的零点为且f (0) f (1)＜0. 函数f (x) = log2(x – 1)的零点为2∈(1.3)且f (1) f (3)＜0 由特殊到一般.归纳一般结论.引入零点存在性定理 发现定理 零点存在性定理 如果函数y = f (x)在区间[a.b]上的图象是连续不断的一条曲线.并且有f (a)·f (b)＜0那么.函数y = f (x)在区间[a.b]内有零点.即存在c∈(a.b).使得f (c) = 0这个c也就是方程f (x) = 0的根 师生合作分析.并剖析定理中的关键词 ①连续不断 ②f (a)·f (b)＜0 师:由于图象连续不断. 若f (a)＞0.f (b)＜0.则y = f (x)的图象将从x轴上方变化到下方.这样必通过x轴.即与x轴有交点 形成定理.分析关键词.了解定理. 深化理解 定理的理解 (1)函数在区间[a.b]上的图象连续不断.又它在区间[a.b]端点的函数值异号.则函数在[a.b]上一定存在零点 (2)函数值在区间[a.b]上连续且存在零点.则它在区间[a.b]端点的函数值可能异号也可能同号 (3)定理只能判定零点的存在性.不能判断零点的个数 师:函数y = f (x) = x2 – ax + 2在(0.3)内.①有2个零点. ②有1个零点.分别求a的取值范围. 生:①f(x)在(0.1)内有2个零点.则其图象如下 则 ②f(x)在(0.3)内有1个零点 则 通过实例 分析.从而进一步理解 定理.深化 定理. 应用举例 例1 求函数f (x) = lnx + 2x – 6的零点的个数. 师生合作探求解题思路.老师板书解答过程 例1 解:用计算器或计算机作出x.f (x)的对应值表和图象. x 1 2 3 4 5 f (x) –4 –1.0369 1.0986 3.3863 5.6094 x 6 7 8 9 f (x) 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表和图可知.f (2)＜0.f (3)＞0.则f (2)· f (3)＜0.这说明函数f (x)在区间(2.3)内有零点.由于函数f (x)在定义域内是增函数.所以它仅有一个零点. 师生合作交流.体会定理的应用 练习巩固 练习1.利用信息技术作出函数的图象.并指出下列函数零点所在的大致区间: (1)f (x) = –x3 –3x + 5, (2)f (x) = 2x·ln(x – 2) – 3, (3)f (x) =ex–1 + 4x – 4, (4)f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x. 学生尝试动手练习.老师借助计算机作图.师生合作交流分析.求解问题. 练习1解:(1)作出函数图象.因为f (1) = 1＞0.f = –2.875＜0所以f (x) = –x3 –3x + 5在区间上有一个零点. 又因为 f(x)是上的减函数.所以f(x) = –x3 –3x + 5在区间上有且只有一个零点. (2)作出函数图象.因为f(3)＜0.f(4)＞0.所以f(x)=2x·ln(x–2) –3在区间(3.4)上有一个零点. 又因为f(x)=2x·ln(x–2) –3在上是增函数.所以f(x) 在上有且仅有一个(3.4)上的零点 (3)作出函数图象.因为f(0)＜0.f(1)＞0.所以f (x) =ex–1 + 4x – 4在区间(0.1)上有一个零点 又因为f(x) =ex–1 + 4x – 4在上是增函数.所以f(x)在上有且仅有一个零点. (4)作出函数图象.因为f (–4)＜0.f (–3)＞0.f (–2)＜0.f (2)＜0.f (3)＞0.所以f (x) = 3 (x + 2) (x – 3) (x + 4) + x在.(2.3)上各有一个零点 . 尝试学生动手模仿练习.老师引导.启发.师生合作完成问题求解.从而固化知识与方法.提升思维能力. 归纳总结 1．数形结合探究函数零点 2．应用定理探究零点及存在区间. 3．定理应用的题型:判定零点的存在性及存在区间. 学生总结师生完善补充 学会整理知识.培养自我归纳知识的能力 课后练习 3.1第二课时 习案 学生自主完成 整合知识.提升能力 备选例题 例1 已知集合A = {x∈R|x2 – 4ax + 2a + 6 = 0}.B = { x∈R|x＜0}.若A∩B≠.求实数a的取值范围. [解析]设全集U = {a|△= (–4a)2 – 4 (2a + 6)≥0} = = 若方程x2 – 4ax + 2a + 6 = 0的两根x1.x2均非负.则 因为在全集U中集合的补集为{a|a≤–1}.所以实数a的取值范围是{a|a≤–1}. 例2 设集合A = {x | x2 + 4x = 0.x∈R}.B = {x | x2 + 2 (a + 1) x + a2 – 1 = 0. x∈R}.若A∪B = A.求实数a的值. [解析]∵A = {x | x2 + 4x = 0.x∈R}.∴A = {–4.0}. ∵A∪B=A.∴BA. 1°当B = A.即B = {–4.0}时.由一元二次方程根与系数的关系得 2°当B=.即方程x2 + 2 (a + 1)x + a2 –1 = 0无实解. ∴△= 4 (a + 1)2 – 4 (a2 – 1) = 8a + 8＜0. 解得.a＜–1. 3°当B = {0}.即方程x2 + 2(a + 1)x + a2 – 1 = 0有两个相等的实数根且为零时. 4°当B = {–4}时.即需 无解. 综上所述.若A∪B=A.则a≤–1或a = 1. 【
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