例1.已知数列{an}为等差数列.公差d≠0.其中..-.恰为等比数列.若k1=1.k2=5.k3=17.求k1+k2+-+kn. 解题思路分析: 从寻找新.旧数列的关系着手设{an}首项为a——青夏教育精英家教网—

例1.已知数列{an}为等差数列.公差d≠0.其中..-.恰为等比数列.若k1=1.k2=5.k3=17.求k1+k2+-+kn. 解题思路分析: 从寻找新.旧数列的关系着手设{an}首项为a1.公差为d ∵ a1.a5.a17成等比数列 ∴ a52=a1a17 ∴(a1+4d)2=a1(a1+16d) ∴ a1=2d 设等比数列公比为q.则对项来说. 在等差数列中: 在等比数列中: ∴ ∴ 注:本题把k1+k2+-+kn看成是数列{kn}的求和问题.着重分析{kn}的通项公式.这是解决数列问题的一般方法.称为“通项分析法 . 例2.设数列{an}为等差数列.Sn为数列{an}的前n项和.已知S7=7.S15=75,Tn为数列{}的前n项和.求Tn. 解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法设{an}首项为a1.公差为d.则 ∴ ∴ ∴ 此式为n的一次函数 ∴ {}为等差数列 ∴ 法二:{an}为等差数列.设Sn=An2+Bn ∴ 解之得: ∴ .下略注:法二利用了等差数列前n项和的性质例3.正数数列{an}的前n项和为Sn.且.求: (1)数列{an}的通项公式, (2)设.数列{bn}的前n项的和为Bn.求证:Bn. 解题思路分析: (I)涉及到an及Sn的递推关系.一般都用an=Sn-Sn-1消元化归. ∵ ∴ 4Sn=(an+1)2 ∴ 4Sn-1=(an-1+1)2 ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2 ∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1 整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0 ∵ an>0 ∴ an-an-1=2 ∴ {an}为公差为2的等差数列在中.令n=1.a1=1 ∴ an=2n-1 (II) ∴ 注:递推是学好数列的重要思想.例本题由4Sn=(an+1)2推出4Sn-1=(an-1+1)2.它其实就是函数中的变量代换法.在数列中一般用n-1.n+1等去代替n.实际上也就是说已知条件中的递推关系是关于n的恒等式.代换就是对n赋值. 例4.等差数列{an}中.前m项的和为77.其中偶数项的和为33.且a1-am=18.求这个数列的通项公式. 解题思路分析: 利用前奇数项和和与中项的关系令m=2n-1.n∈N+ 则 ∴ ∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又a1-am=18 ∴ a1=20.am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23 例5.设{an}是等差数列..已知b1+b2+b3=.b1b2b3=.求等差数列的通项an. 解题思路分析: ∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列从求解{bn}着手 ∵ b1b3=b22 ∴ b23= ∴ b2= ∴ ∴ 或 ∴ 或 ∵ ∴ ∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 注:本题化归为{bn}求解.比较简单.若用{an}求解.则运算量较大. 例6.已知{an}是首项为2.公比为的等比数列.Sn为它的前n项和. (1)用Sn表示Sn+1, (2)是否存在自然数c和k.使得成立. 解题思路分析: (1)∵ ∴ (2)(*) ∵ ∴ ∴ 式(*) ① ∵ Sk+1>Sk ∴ 又Sk<4 ∴ 由①得:c=2或c=3 当c=2时 ∵ S1=2 ∴ k=1时.c<Sk不成立.从而式①不成立 ∵ ∴ 由Sk<Sk+1得: ∴ 当k≥2时..从而式①不成立当c=3时.S12.S2=3 ∴ 当k=1.2时.C<Sk不成立 ∴ 式①不成立 ∵ ∴ 当k≥3时..从而式①不成立综上所述.不存在自然数c.k.使成立例7.某公司全年的利润为b元.其中一部分作为资金发给n位职工.资金分配方案如下:首先将职工按工作业绩从大到小.由1到n排序.第1位职工得资金元.然后再将余额除以n发给第2位职工.按此方法将资金逐一发给每位职工.并将最后剩余部分作为公司发展基金. (1)设ak为第k位职工所得资金额.试求a2.a3.并用k.n和b表示ak, (2)证明:ak<ak+1.并解释此不等式关于分配原则的实际意义. 解题思路分析: 谈懂题意.理清关系.建立模型第1位职工的奖金第2位职工的奖金第3位职工的奖金 -- 第k位职工的奖金 (2) 此奖金分配方案体现了“按劳分配或“不吃大锅饭等原则. 例8.试问数列{}的前多少项的和最大.并求这个最大值解题思路分析: 法一: ∴ {an}为首项为2.公差为的等差数列 ∴ ∵ n∈N+ ∴ n=14时.(Sn)max=14.35 法二:∵ a1=2>0.d= ∴ {an}是递减数列.且Sn必为最大值设 ∴ ∴ ∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14=14.35 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁=23，公差d=-2，则其前n项和S_n达到最大值时n为（　　）

A、10

B、11

C、12

D、13

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已知数列{a_n}为等差数列，a₁=1，公差d≠0，a₁、a₂、a₅成等比，则a₂₀₁₃的值为（　　）

A．4023

B．4025

C．4027

D．4029