教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 复习引入 例1 某桶装水经营部每天的房租.人员工资等固定成本为200元.每桶水的进价是5元.销售单价与日均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 日均销售量/桶 480 440 400 360 销售单价/元 10 11 12 日均销售量/桶 320 280 240 请据以上数据作出分析.这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 师生合作回顾一元一次函数.一元二次函数.分段函数建模实际问题的求解思路“审.建.解.检 生:尝试解答例1 解:根据表.销售单价每增加1元.日均销售量就减少40桶.设在进价基础上增加x元后.日均销售利润为y 元.而在此情况下的日均销售量就为 480–40(x–1)=520–40x(桶) 由于x＞0且520–40x＞0.即0＜x＜13.于是可得 y=(520–40x)x–200 = –40x2+520x–200.0＜x＜13 易知.当x=6.5时.y有最大值. 所以.只需将销售单价定为11.5元.就可获得最大的利润. 师:帮助课本剖析解答过程.回顾反思上节课的学习成果 以旧引新激发兴趣.再现应用技能. 应用举例 4．指数型函数模型的应用 例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律.可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年.英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766-1834)就提出了自然状态下的人口增长模型:y=y0ert. 其中t表示经过的时间.y0表示t=0时的人口数.r表示人口的年平均增长率. 下表是1950~1959年我国的人口数据资料: 年份 1950 1951 1952 1953 1954 人数/万人 55196 56300 57482 58796 60266 年份 1955 1956 1957 1958 1959 人数/万人 61456 62828 64563 65994 67207 (1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率.用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型.并检验所得模型与实际人口数据是否相符, (2)如果按表的增长趋势.大约在哪一年我国的人口达到13亿? 例2 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表 身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 (1)根据表提供的数据.能否建立恰当的函数模型.使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖.低于0.8倍为偏瘦.那么这个地区一名身高为175cm.体重为78kg的在校男生的体重是否正常? 例2 解答: (1)以身高为横坐标.体重为纵坐标.画出散点图.根据点的分布特征.可考虑以y=a·bx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型. 如果取其中的两组数据.代入y=a·bx得:.用计算器算得a≈2.b≈1.02. 这样.我们就得到一个函数模型:y=2×1.02x. 将已知数据代入上述函数解析式.或作出上述函数的图象.可以发现.这个函数模型与已知数据的拟合程度较好.这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系. (2)将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175. 由计算器算得y≈63.98. 由于78÷63.98≈1.22＞1.2. 所以.这个男生偏胖. 归纳总结: 通过建立函数模型.解决实际实际问题的基本过程: 师:形如y=bacx函数为指数型函数.生产生活中以此函数构建模型的实例很多 生:在老师的引导下审题.建模.求解.检验.尝试完成此例 师生合作总结解答思路及题型特征 师生:共同完成例1 解答: (1)设1951~1959年的人口增长率分别为r1.r2.-.r9.由55196(1 + r1) = 56300.可得1951年的人口增长率 r1≈0.0200. 同理可得. r2≈0.0210.r3≈0.0229.r4≈0.0250.r5≈0.0197.r6≈0.0223.r7≈0.0276. r8≈0.0222.r9≈0.0184. 于是.1951~1959年期间.我国人口的年均增长率为 r(r1+r2+-+r9)÷9≈0.0221. 令y0=55196.则我国在1950~1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t.t∈N. 根据表中的数据作出散点图并作出函数 y=55196e0.0221t (t∈N)的图象 由图可以看出.所得模型与1950~1959年的实际人口数据基本吻合. (2)将y=130000代入 y=55196e0.0221t. 由计算器可得t≈38.76. 所以.如果按表的增长趋势.那么大约在1950年后的第39年我国的人口就已达到13亿.由此可以看到.如果不实行计划生育.而是让人口自然增长.今天我国将面临难以承受的人口压力. 通过实例求解.提炼方法整合思路提升能力. 巩固练习 练习1已知1650年世界人口为5亿.当时人口的年增长率为0.3%,1970年世界人口为36亿.当时人口的年增长率为2.1%. (1)用马尔萨斯人口模型计算.什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍? (2)实际上.1850年以前世界人口就超过了10亿,而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法? 解答:(1)已知人口模型为 y = y0en. 其中y0表示t = 0时的人口数.r表示人口的年增长率. 若按1650年世界人口5亿.年增长率为0.3%估计.有 y = 5e0.003t. 当y = 10时.解得t≈231. 所以.1881年世界人口约为1650年的2倍. 同理可知.2003年世界人口数约为1970年的2倍. (2)由此看出.此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况. 固化能力强化技巧 应用举例 4．拟合函数模型 例3 某皮鞋厂从今年1月份开始投产.并且前4个月的产量分别为1万双.1.2万双.1.3万双.1.37万双.由于产品质量好.款式新颖.前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时.接受定单不至于过多或过少.需要估计以后几个月的产量.厂里分析.产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长.就月份x.产量y 给出四种函数模型:y=ax+b.y=ax2+bx+c. ,y=abx+c.你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量? 归纳总结: 所以y= –0.8×0.54+1.4=1.35 本题是对数据进行函数模拟.选择最符合的模拟函数.一般思路要画出散点图.然后作出模拟函数的图象.选择适合的几种函数类型后.再加以验证.函数模型的建立是最大的难点.另外运算量较大.必须借助计算机进行数据处理.函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验.又必须与具体实际结合起来. 生:动手实践解题此例学生四个代表分别板书四种函数模型. 师:点评学生解答.总结.回答问题 解析:本题是通过数据验证.确定系数.然后分析确定函数的变化情况.最终找出与实际最接近的函数模型. 由题知A(1.1).B.C .D. (1)设模拟函数为y=ax+b.将B.C两点的坐标代入函数式.有 所以得y = 0.1x + 1. (2)设y=ax2+bx+c.将A.B.C三点代入.有 所以y= –0.05x2+0.35x+0.7. (3)设.将A.B两点的坐标代入.有 所以 (4)设y=abx+c.将A.B.C三点的坐标代入.得 用已学函数模型综合求解问题.提升综合应用模型的能力. 巩固练习 练习2 某地区今年1月.2月.3月患某种传染病的人数分别为52.61.68.为了预测以后各月的患病人数.甲选择了模型y=ax2+bx+c.乙选择了模型y=pqx+r.其中y为患病人数.x为月份数.a,b,c,p,q,r都是常数.结果4月.5月.6月份的患病人分别为74,78.83.你认为谁选择的模型较好? 学生口述解题思路 老师借助电脑解答问题 (1)列表 (2)画散点图. (3)确定函数模型. 甲:y1= –x2 +12x+41. 乙:y2 = –52.07×0.778x + 92.5 (4)做出函数图象进行比较. 计算x = 6时.y1 = 77.y2 = 80.9. 可见.乙选择的模型较好. 固化解题技巧 归纳总结 1．数学模型 所谓数学模型是指对客观实际的特征或数量关系进行抽象概括.用形式化的数学语言表述的一种数学结构.数学模型剔除了事物中一切与研究目标无本质联系的各种属性.在纯粹状态下研究数量关系和空间形式.函数就是最重要的数学模型.用函数解决方程问题.使求解变得容易进行.这是数学模型间的相互转换在发挥作用.而用函数解决实际问题.则体现了数学模型是联系数学与现实世界的桥梁. 2．关于数学建模中的假设 就一般的数学建模来说.是离不开假设的.如果在问题的原始状态下不作任何假设.将所有的变化因素全部考虑进去.对于稍复杂一点的问题就无法下手了.假设的作用主要表现在以下几个方面:(1)进一步明确模型中需要考虑的因素和它们在问题中的作用.通常.初步接触一个问题.会觉得围绕它的因素非常多.经仔细分析筛查.发现有的因素并无实质联系.有的因素是无关紧要的.排除这些因素.问题则越发清晰明朗.在假设时就可以设这些因素不需考虑. (2)降低解题难度.由于每一个解题者的能力不同.经过适当的假设就可以有能力建立数学模型.并且得到相应的解. 一般情况下.是先在最简单的情形下组建模型.然后通过不断地调整假设使模型尽可能地接近实际.得到更满意的解. 师生合作交流归纳知识.整合解题体会 整合理论培养学习能力 课后练习 3.2 第四课时 习案 学生独立完成 固化知识提高能力 【
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