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    教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 回顾反思构建体系 1．函数与方程单元知识网络 2．知识梳理 ①二次函数的零点与一元二次方程根的关系 对于二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0).当f (x) = 0时.就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0.因此.二次函数f (x) = ax2 + bx + c (a≠0)的零点就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根,也即二次函数f (x) = ax2 + bx + c的图象--抛物线与x轴相交时.交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根. ②函数的零点的理解 (1)函数的零点是一个实数.当自变量取该值时.其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知.函数f (x)的零点就是f (x) = 0的根.因此判断一个函数是否有零点.有几个零点.就是判断方程f (x) = 0是否有实根.有几个实根. ③函数零点的判定 判断一个函数是否有零点.首先看函数f (x)在区间[a.b]上的图象是否连续.并且是否存在f (a)·f (b)＜0.若满足.那么函数y = f (x)在区间(a.b)内必有零点. ④用二分法求方程的近似解要注意以下问题: (1)要看清题目要求的精确度.它决定着二分法步骤的结束. (2)初始区间的选定一般在两个整数间.不同的初始区间结果是相同的.但二分的次数却相差较大. (3)在二分法的第四步.由|a – b|＜.便可判断零点近似值为a或b. ⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点: (1)曲线的交点坐标是方程组的解.最终转化为求方程的根, (2)求曲线y = f (x)和y = g(x)的交点的横坐标.实际上就是求函数y = f (x) – g (x)的零点.即求方程f (x) – g (x) = 0的实数解. 1．师生合作.绘制单元知识网络图 2．学生回顾口述知识要点.老师总结.归纳.师生共同进行知识疏理. 整理知识.培养归纳能力,师生共同回顾.再现知识与方法. 经典例题剖析 例1 利用计算器.求方程2x + 2x – 5 = 0的近似解. 例2 确定函数f (x) =+ x – 4 的零点个数. 例3(1)试说明方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解.并求出全部解的和 (2)探究方程2x3 – 6x2 +5 = 0.方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和.你由此可以得到什么结论? 1．学生自主完成例1.例2.例3.求解学生代表板书解答过程.老师点评.总结. 例1[解析]设f (x) = 2x + 2x – 5.由于函数在R上是增函数.所以函数f (x)在R上至多一个零点. ∵f (1) = –1＜0.f (2) = 3＞0. ∴f (1) f (2)＜0. ∴函数f (x) = 2x + 2x – 5在内有一个零点.则二分法逐次计算.列表如下: 取区间 中点值 中点函数值 1.5 0.83 1.25 –0.12 1.375 0.34 1.3125 0.11 ∵|1.3125 – 1.25| = 0.0625＜0.1. ∴函数f (x)的零点近似值为1.3125. ∴方程2x + 2x – 5 = 0的近似解是1.3125. 例2[解析]设.则f (x)的零点个数即y1与y2的交点个数.作出两函数图象如图. 由图知.y1与y2在区间内有一个交点. 当x = 4时.y1 = –2.y2 = 0. 当x = 8时.y1 = –3.y2 = – 4. ∴在内两曲线又有一个交点.又和y2 = x – 4均为单调函数. ∴两曲线只有两个交点. 即函数有两个零点. 例3[解析](1)设函数 f (x) =2x3 – 6x2 +3. ∵f (–1) = –5＜0.f (0) = 3＞0.f (1) = –1＜0. f (2) = –5＜0.f (3) = 3＞0.函数y = f (x)的图象是连续的曲线.∴方程2x3 – 6x2 +3 = 0有3个实数解． 首先以区间[–1.0]为计算的初始区间.用二分法逐步计算.列表如下: 端点或中点的横坐标 a0 = –1.b0 = 0 x0 = / 2 = – 0.5 x1 = /2 = – 0.75 x2 = / 2= – 0.625 x3 = / 2= – 0.687 5 x4 = / 2= – 0.656 25 x5 = / 2= – 0.640 625 x6= (– 0.656 25 – 0.640 625) / 2 = – 0.648 437 5 x7= – 0.644 531 25 计算端点或中点的函数值 定区间 f (–1) = –5.f (0) =3 [–1.0] f (x0) = f = 1.25＞0 [–1.–0.5] f (x1) = f ＜0 [– 0.75.–0.5] f (x2) = f ＞0 [– 0.75.–0.625] f (x3) = f ＜0 [– 0.687 5.–0.625] f (x4) = f ＜0 [– 0.656 25.–0.625] f (x5) = f ＞0 [– 0.656 25.–0.640 625] f (x6) = f ＜0 [– 0.648 437 5.–0.640 625] f (x7)＜0 [– 0.644 531 25.–0.640 625] 由上表计算可知.区间[– 0.64453125.– 0.640625]的左.右两端点精确到0.01所取的近似值都是 – 0.64.所以– 0.64可以作为方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[–1.0]上的一个近似解． 同理可求得方程2x3 – 6x2 +3 = 0在区间[0.1]和[2.3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83.2.81．所以方程2x3 – 6x2 +3 = 0全部解的和为– 0.64 + 0.83 + 2.81 = 3． (2)利用同样方法可求得方程2x3 – 6x2 +5 = 0和方程2x3 – 6x2 +8 = 0全部解的和也为3． 由于3只与未知数的系数比相等.即 – = 3.所以猜想: 一般地.对于一元三次方程ax3+ bx3 + cx +d = 0有三个根xl.x2.x3.则和为x1 +x2 +x3 =． 动手尝试练习提升综合应用知识的能力. 备选例题 例1 求函数y = x3 – 2x2 – x + 2的零点.并画出它的图象. [解析]因为x3 – 2x – x + 2 = x2 (x – 2) – (x – 2) = (x – 2) (x2 – 1) = (x – 2) (x – 1) (x + 1). 所以已知函数的零点为–1.1.2. 3个零点把x轴分成4个区间: .[–1.1].[1.2].. 在这4个区间内.取x的一些值.列出这个函数的对应值表: x - –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 - y - – 4.38 0 1.88 2 1.13 0 –0.63 0 2.63 - 在直角坐标系内描点连线.这个函数的图象如图所示. 例2 求函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的一个为正实数的零点. [解析]由于f (1) = –2＜0.f (2) = 6＞0.可以取区间[1.2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算.列表如下: 端点坐标 计算中点的函数值 取区间 |an – bn| [1.2] 1 x0 = /2 = 1.5 f(x0)=0.625＞0 [1.1.5] 0.5 x1 = /2 = 1.25 f(x1)= –0.984＜0 [1.25.1.5] 0.25 x2=/2 =1.375 f(x2)= –0.260＜0 [1.375.1.5] 0.125 x3=/2=1.438 由上表的计算可知.区间[1.375.1.5 ]的长度小于0.2.所以这个区间的中点x3 = 1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一个正实数零点的近似值. 函数f (x) = x3 + x2 – 2x – 2的图象如图所示. 实际上还可用二分法继续算下去.进而得到这个零点精确度更高的近似值. 【查看更多】

     

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