[例1]求下列函数的反函数: (1),(2), (3); 解:(1)由得. ∴. ∴所求函数的反函数为; (2)当时..当时. 得. ∴所求函数的反函数为 (3)由得. ∴. ∴所求反函数为. 提炼方法:1.求反函数的步骤:2.分段函数的反函数要分段求. 并注意原函数在每段上的值域. [例2]已知函数f(x)=的图象关于直线y=x对称.求实数m. 解:∵f(x)的图象关于直线y=x对称.又点(5.0)在f(x)的图象上.∴点(0.5)也在f(x)的图象上.即-=5.得m=-1. 法二:由.有反函数.由于f(x)的图象关于y=x对称.与f -1(x)相同.比较系数得m=-1. 提炼方法:法1.找一特殊点(5,0)的对称点在图象上; 法2.f(x) 与f -1(x)相同,比较系数. [例3]已知函数f(x)=2(-)(a＞0.且a≠1). (1)求反函数y=f-1(x), (2)判定f-1(x)的奇偶性, (3)解不等式f-1(x)＞1. 解:(1)化简.得f(x)=. 设y=.则ax=.∴x=loga. ∴所求反函数为 y=f-1(x)=loga(-1＜x＜1). (2)∵f-1(-x)=loga=loga()-1=-loga=-f-1(x). ∴f-1(x)是奇函数. (3)loga＞1. 当a＞1时. 原不等式＞a＜0. ∴＜x＜1. 当0＜a＜1时.原不等式解得 ∴-1＜x＜. 综上.当a＞1时.所求不等式的解集为(.1), 当0＜a＜1时.所求不等式的解集为(-1.). [研究.欣赏] 已知函数f(x)是函数y=-1(x∈R)的反函数.函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x-1成轴对称图形.记F(x)=f(x)+g(x). (1)求F(x)的解析式及定义域. (2)试问在函数F(x)的图象上是否存在这样两个不同点A.B.使直线AB恰好与y轴垂直?若存在.求出A.B两点坐标,若不存在.说明理由. 解:(1)由y=-1(x∈R).得10x=.x=lg.∴f(x)=lg(-1＜x＜1). 设P(x.y)是g(x)图象上的任意一点.则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为(1+y.x-1).由题设知点P′(1+y.x-1)在函数y=的图象上.∴x-1=. ∴y=.即g(x)=(x≠-2). ∴F(x)=f(x)+g(x)=lg+.其定义域为{x|-1＜x＜1}. (2)∵f(x)=lg=lg(-1+)(-1＜x＜1)是减函数.g(x)=(-1＜x＜1)也是减函数.∴F(x)在上是减函数. 故不存在这样两个不同点A.B.使直线AB恰好与y轴垂直. 点评:本题是一道综合题.解决第(2)小题常用的方法是反证法.但本题巧用单调性法使问题变得简单明了. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

例2．设f（x）是定义在[-3，

]上的函数，求下列函数的定义域（1）y=f(

-2)（2）y=f(

)(a≠0)

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例1．求下列函数的定义域
（1）y=

log0.5(log2x2+1)

，
（2）y=log_a[log_a（log_ax）]

，
（3）y=

16-x2

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