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    (一)学习方法点拨 1．导数的概念: 设f(x)在点x=x0 附近有定义.若极限存在.则称其为f(x)在点x=x0处的导数f ’(x0)．可以证明这一结论与教科书上的导数定义是等价的． 另外.若.且存在a的邻域∪≠0.则.又若.且存在a的邻域∪≠x0.则. 设f(x)= 那么g=A.且 为f(x)在点x＝a处可导的充要条件.此时f ’(a)＝B． 由此可知.若分段函数f.h(x)可分别看做含有a的区间＝h.则f(x)在点x=a处可导,且有f ’． 2．曲线的切线: 设曲线S:y=f存在.则S在点P处的切线方程为 l:y-f． 可见l的方程被x0所唯一确定,若f内可导.则当点x0在内变动时.点P在S上变动.而l“贴着 曲线S转动．所以要求具有某种性质的切线.可转化为这种性质对点x0的要求.解出x0.即可求出对应的切线方程． 应当了解可能一曲线在某点处不可导,但在这一点的切线还是存在的.例如曲线y=在点x＝0处不可导.但在原点处有切线x＝0． 3．导数运算 要熟练掌握基本导数公式以及函数的和.差.积.商的求导法则． 对复合函数求导法则.应首先搞清楚函数的复合过程.方法是研究运算顺序.例如给定函数y＝ln.所谓运算顺序是指对自变量x.应先计算u=ex.再计算v=sinu.最后算出y＝lnv.然后倒过来即得复合过程y＝lnv.v=sinu.u＝ex.从而有y’=． 对复合函数求导法则的掌握.要熟练到可以不写出复合过程而直接写出求导结果． 4．函数的单调性 应当理解函数的单调性与可导性并无本质的联系.甚至具有单调性的函数并不一定连续．我们只是利用可导来研究单调性.这样就将研究的范围局限于可导函数． f(x)在区间I上可导.那么f ’为增函数的充分条件.例如f(x)=x3是定义于R的增函数.但f ’>0非必要条件． 我们也可利用导数来证明一些不等式．如f均在[a.b]上连续.＝f也在[a.b]上连续.且在(a.b)上可导.若对任何x∈>0且 h时 h>g成立． 5．可导函数的极值 从函数的极值定义看.极值的存在与可微性无必然联系．如f(x)=|x-1|.易见当x=1时f(x)取得极小值.但f ’(1)不存在．所以用研究导数的方法探求函数的极值.实际上是将研究的范围局限于可导函数． 对可导函数f(x).在x=x0取极值的必要条件是f在点x=x0处取得极小值.是否一定存在x0的邻域时f ’(x)<0.且当x∈>0.答案是否定的.即f ’(x)在x0的“左侧附近 为负.且在x0“右侧附近 为正仅是f(x0)为极小值的充分条件.为说明这一情况.我们考察函数f(x)=.由于,故有. 即f(x)在R上可导．又当x≠0时f=0.故当x＝0时f(x)取得极小值0.但对任何α<0.总可取到充分小的 k∈Z.使 x1＝∈=>0.又对任何β>0.总可取到充分大的k∈Z.使x2=∈=<0． 6．函数的最大值与最小值 函数的极值是“局部性质 .例如极小值点是指存在一个邻域.在其中此点的函数值最小.而函数的最大值.最小值是“全局性质 .即在函数的整体定义域内的某点处函数值最大(小).这两个概念是有区别的．但它们也有联系.即当最大(小)值点在区间内部时.它当然也是极值点.所以求定义于区间[a.b]上的函数f值时.只需此较诸极值与区间端点处的函数值f即可． 我们知道.[a.b]上的连续函数 f(x)必有最大值与最小值．若又有 f上可导的条件.则由极值点处f ’值点 x0∈{x| f ’(x0)=0或x＝a或x＝b}．但由于f(x)在[a.b]上连续并不能保证其在值可能出现在f ’=|x(x-1)|.易见最小值为0.出现在点x=0或x＝1处.而此时f ’.所以若仅有f(x)在[a.b]连续的条件.为求f值.还需要求出使f ’(x)不存在的点.将这些点处的函数值与诸极值及f比较.从而确定最大值与最小值． 根据上述分析.若f(x)在[a.b]上连续.在(a.b)内可导.如果我们可从另外的途径.比如问题的实际背景判断出f(x)的最小值不可能出现在点x＝a.x＝b处.那么当方程f ’内仅有一解x0时.则可断定f(x0)为最小值． 【查看更多】

     

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