例1．比较下列各组中两个值的大小: ⑴, ⑵． (3) 解:⑴..． ⑵..． 小结1:引入中间变量比较大小:例1仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接比较时.经常在两个对数中间插入1或0等.间接比较两个对数的大小． 练习: 1．比较大小 ⑴, ⑵, ⑶ ． 例2．已知x =时.不等式 loga (x2 – x – 2)＞loga (–x2 +2x + 3)成立. 求使此不等式成立的x的取值范围. 解:∵x =使原不等式成立. ∴loga[]＞loga 即loga＞loga. 而＜. 所以y = logax为减函数.故0＜a＜1. ∴原不等式可化为. 解得. 故使不等式成立的x的取值范围是 例3．若函数在区间[a.2a]上的最大值是最小值的3倍. 求a的值. () 例4．求证:函数f (x) =在上是增函数. 解:设0＜x1＜x2＜1. 则f (x2) – f (x1) = = ∵0＜x1＜x2＜1.∴＞1.＞1. 则＞0. ∴f (x2)＞f (x1). 故函数f (x)在上是增函数 例5．已知f (x) = loga (a – ax) (a＞1). (1)求f (x)的定义域和值域, (2)判证并证明f (x)的单调性. 解:(1)由a＞1.a – ax＞0.而a＞ax.则x＜1. 故f (x)的定义域为. 而ax＜a.可知0＜a – ax＜a. 又a＞1. 则loga(a – ax)＜lgaa = 1. 取f (x)＜1.故函数f (x)的值域为. (2)设x1＞x2＞1.又a＞1. ∴＞.∴＜a＜. ∴loga (a –)＜loga (a –).即f (x1)＜ f (x2).故f (x)在上为减函数. 例6．书P72面例9.指导学生看书. 例7． 求下列函数的定义域.值域: ⑴, ⑵, 解:⑴∵对一切实数都恒成立. ∴函数定义域为R． 从而 即函数值域为． ⑵要使函数有意义.则须: . 由 ∴在此区间内 . ∴ ． 从而 即:值域为. ∴定义域为[-1,5].值域为． 例8．已知f (x) = logax (a＞0.a≠1).当0＜x1＜x2时. 试比较与的大小.并利用函数图象给予几何解释. [解析]因为 = 又0＜x1＜x2. ∴x1 + x2 – 2＞0. 即x1 + x2＞2. ∴＞1. 于是当a＞1时.＞0. 此时＞ 同理0＜a＜1时＜ 或:当a＞1时.此时函数y = logax的图象向上凸. 显然.P点坐标为.又A.B两点的中点Q的纵坐标为[ f (x1) + f (x2)]. 由几何性质可知 ＞. 当0＜a＜1时.函数图象向下凹. 从几何角度可知＜0. 此时＜ 【
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