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    [例1]已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1］. (1)若f(x)在x∈(0,1］上是增函数.求a的取值范围, (2)求f(x)在区间(0,1］上的最大值. 分析:(1)要使f(x)在(0,1］上为增函数.需f′(x)＞0,x∈(0,1). (2)利用函数的单调性求最大值. 解:(1)由已知可得f′(x)=2a+,∵f(x)在(0,1)上是增函数.∴f′(x)＞0,即a＞-, x∈(0,1］.∴a＞-1. 当a=-1时.f′(x)=-2+对x∈(0,1)也有f′(x)＞0.满足f(x)在(0,1］上为增函数. ∴a≥-1. 知,当a≥-1时,f(x)在(0,1］上为增函数, ∴［f(x)］max=f(1)=2a-1. 当a＜-1时.令f′(x)=0得x=, ∵0＜＜1,∴0＜x＜时,f′(x)＞0; ＜x≤1时.f′(x)＜0. ∴f(x)在(0, )上是增函数.在(,1]减函数. ∴［f(x)］max=f ()=-3. 解法点评:求参数的取值范围.凡涉及函数的单调性.最值问题时.用导数的知识解决较简单. [例2] 已知函数.其中x∈R,θ为参数.且0≤θ<2π． (1)当时cosθ=0.判断函数f(x)是否有极值, 的极小值大于零.求参数θ的取值范围, 中所求的取值范围内的任意参数θ.函数f(x)在区间内都是增函数.求实数的取值范围． 解:=4x3.则f(x)在内是增函数.故无极值. (Ⅱ)f′(x)=12x2-6xcosθ.令f′(x)=0.得 由(Ⅰ).只需分下面两种情况讨论. ①当cosθ>0时.随x的变化f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表: x 0 f/(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此.函数f(x)在处取得极小值.且 要使.必有.可得 由于.故 ②当时cosθ<0.随x的变化.f′(x)的符号及的变化情况如下表: + 0 - 0 + 极大值 极小值 因此.函数f(x)在x=0处取得极小值f(0).且 若f(0) >0.则cosx>0.矛盾.所以当cosx<0时.f(x)的极小值不会大于零. 综上.要使函数f(x)在内的极小值大于零.参数θ的取值范围为. 知.函数f(x)在区间与内都是增函数. 由题设.函数f(x)在内是增函数.则a须满足不等式组 或 由(II).参数时时..要使不等式关于参数恒成立.必有.即. 综上.解得或. 所以的取值范围是. 特别提示:对于求单调区间.极值.最值问题.根据导数的零点把定义区间分开.列出表格.再分析各区间导数的符号.进而确定单调区间.极值最值.清楚直观不易出错. [例3] 统计表明.某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度x的函数解析式可以表示为:已知甲.乙两地相距100千米. (I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地要耗油多少升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升? 解:(I)当时.汽车从甲地到乙地行驶了小时. 要耗油(升). 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油17.5升. (II)当速度为千米/小时时.汽车从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为升. 依题意得 令得 当时.是减函数, 当时.是增函数. 当时.取到极小值 因为在上只有一个极值.所以它是最小值. 答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时.从甲地到乙地耗油最少.最少为11.25升. 考查知识:函数.导数及其应用等基本知识.考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力. [例4] 设函数分别在 处取得极小值 极大值 平面上点A B的坐标分别为 ,该平面上动点P满足,点Q是点P关于直线的对称点 求(Ⅰ)点A B的坐标 , (Ⅱ)动点Q的轨迹方程 解: (Ⅰ)令解得 当时,, 当时, ,当时, 所以,函数在处取得极小值,在取得极大值, 故, 所以, 点A B的坐标为 (Ⅱ) 设..PQ的中点在上.. 所以. ∴ ∵ ∴ ∴ 化简得 [研讨.欣赏]=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列.且a＞0,d＞0．设x0为f(x)的极小值点,在［1-］上.f/(x)在x1处取得最大值.在x2处取得最小值.将点(x0,f(x0)).(x1,f/(x1)).(x2,f(x2))依次记为A. B. C (I)求x0的值 (II)若⊿ABC有一边平行于x轴.且面积为.求a ,d的值 解(Ⅰ): 令.得或 当时.. 所以在处取极小值.即. (Ⅱ)法一: ∴的图象开口向上.对称轴方程是. .知 ∴在上的最大值为.则. 又由.知 ∴当时.取得最小值.即 .. . 由△ABC有一条边平行于x轴.得AC平行于x轴.所以 .即 ① 又由△ABC的面积为.得 . 利用.得. ② 联立①.②可得. 法二:. 由知在上的最大值为.即 由.知. ∴当时.取得最小值.即 . . 由△ABC有一条边平行于x轴.得AC平行于x轴.所以 -.即. ① 又由△ABC的面积为.得 . 利用.得. ② 联立①.②可得. 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+
    1
    2
    恒成立，且当x＞0时，f(x)＞-
    1
    2
    恒成立；
    （1）求f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
    （2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明；
    （3）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中max{a，b}=
    a，(a≥b)
    b，(a＜b)
    ）有三个零点x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范围．

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    例1、已知函数f(x)=
    1+x
    1-x
    的定义域为A，函数y=f[f（x）]的定义域为B，则（　　）
    A、A∪B=BB、A不属于B
    C、A=BD、A∩B=B

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    已知函数f（x）（x∈R）满足：对于任意实数x，y，都有数学公式恒成立，且当x＞0时，数学公式恒成立；
    （1）求f（0）的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
    （2）判定函数f（x）在R上的单调性，并加以证明；
    （3）若函数F（x）=f（max{-x，2x-x2}）+f（-k）+1（其中数学公式）有三个零点x1，x2，x3，求u=（x1+x2+x3）+x1•x2•x3的取值范围．

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    例4、已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数．又知y=f（x）在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5．
    ①证明：f（1）+f（4）=0；②求y=f（x），x∈[1，4]的解析式；③求y=f（x）在[4，9]上的解析式．

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    【例】已知f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=sin3x+2x2－1，求f（x）的解析式

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