(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)已知函数(a＞0.且a≠1).其中为常数．如果 是增函数.且存在零点(为的导函数)． (Ⅰ)求a的值, (Ⅱ)设A(x1.y1).B(x2.y2)(x1<x2)是函数y＝g(x)的图象上两点.( 为的导函数).证明:． 解:(Ⅰ)因为. 所以． ----------------3分 因为h(x)在区间上是增函数. 所以在区间上恒成立． 若0<a<1.则lna<0.于是恒成立． 又存在正零点.故△＝(-2lna)2-4lna＝0.lna＝0.或lna＝1与lna<0矛盾． 所以a>1． 由恒成立.又存在正零点.故△＝(-2lna)2-4lna＝0. 所以lna＝1.即a＝e． --------------------------7分 ..于是.．----------9分 以下证明． (※) (※)等价于． -----------------11分 令r(x)＝xlnx2-xlnx-x2+x.----------------------13分 r ′(x)＝lnx2-lnx.在(0.x2］上.r′(x)>0.所以r(x)在(0.x2］上为增函数． 当x1<x2时.r(x1)< r(x2)＝0.即. 从而得到证明．--------------------------15分 对于同理可证-----------------------16分 所以． 评讲建议: 此题主要考查函数.导数.对数函数.二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易.第二小题是以数学分析中的中值定理为背景.作辅助函数.利用导数来研究函数的性质.是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明: 要证明.只要证明>1.令.作函数h(x)＝t-1-lnt.下略． 【
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