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    (广东省汕头市澄海区2008年第一学期期末考试)如图.已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中.底面边长AB＝2.侧棱BB1的长为4.过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E.交B1C于点F. (1)求证:A1C⊥平面BDE, (2)求A1B与平面BDE所成角的正弦值. (3)设F是CC1上的动点.求证:△DBF是锐角三角形. (1)证明:由正四棱柱性质知A1B1⊥平面BCC1B1.A1A⊥平面ABCD. 所以B1C.AC分别是A1C在平面CC1B1B.平面ABCD上的射影 ∵ B1C⊥BE, AC⊥BD, ∴A1C⊥BE , A1C⊥BD. ∴ A1C⊥平面BDE . (直接指出根据三垂线定理得“A1C⊥BE , A1C⊥BD 而推出结论的不扣分) (2)解:以DA.DC.DD1所在直线分别为x.y.z轴.建立坐标系.则...∴. ∴ 设A1C平面BDE＝K. 由(1)可知.∠A1BK为A1B与平面BDE所成角. ∴ (3)证明:设点F的坐标为, 则. 又|DB|=.故△DBF是等腰三角形.要证明它为锐角三角形.只需证明其顶角∠DFB为锐角则可. 由余弦定理得cos∠DFB= ∴∠DFB为锐角, 即不论点F为CC1上C点除外的任意一点, △DFB总是锐角三角形. 说明: 若没有说明三角形为等腰三角形而只证明一个角是锐角,或只证明底角是锐角的“以偏概全 情况应扣2分) 【查看更多】

     

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