(广东省五校2008年高三上期末联考)已知梯形ABCD中.AD∥BC.∠ABC =∠BAD =.AB=BC=2AD=4.E.F分别是AB.CD上的点.EF∥BC.AE = x.G是BC的中点.沿EF将梯形ABCD翻折.使平面AEFD⊥平面EBCF . (1) 当x=2时.求证:BD⊥EG , (2) 若以F.B.C.D为顶点的三棱锥的体积记为f的最大值, 取得最大值时.求二面角D-BF-C的余弦值. 解:∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz.----------------- 1分 则A.G.E----2分 .-------------------3分 ＝0.∴ -----------4分 作DH⊥EF于H.连BH.GH.-----1分 由平面平面知:DH⊥平面EBCF. 而EG平面EBCF.故EG⊥DH. 又四边形BGHE为正方形.∴EG⊥BH. BHDH＝H.故EG⊥平面DBH.------- 3分 而BD平面DBH.∴ EG⊥BD.------- 4分 (或者直接利用三垂线定理得出结果) (2)∵AD∥面BFC. 所以 VA-BFC＝＝4(4-x)x ---------------------------7分 即时有最大值为.----------------------8分 设平面DBF的法向量为.∵AE=2, B. F,∴, ------------9分 则 . 即. 取x＝3.则y＝2.z＝1.∴ 面BCF的一个法向量为 -----------12分 则cos<>= ----------------13分 由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角.所以此二面角的余弦值为- -----14分 作DH⊥EF于H.作HM⊥BF.连DM. 由三垂线定理知 BF⊥DM.∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角.----------9分 由△HMF∽△EBF.知.而HF=1.BE=2..∴HM＝. 又DH＝2. ∴在Rt△HMD中.tan∠DMH=-. 因∠DMH为锐角.∴cos∠DMH＝. ------------13分 而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角. 故二面角D-BF-C的余弦值为-. ------------14分 【
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