(河北省正定中学高2008届一模)在五棱锥P-ABCDE中.PA=AB=AE=4a.PB=PE=a.BC=DE=2a.∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°．(1)若为中点.求证:平面. (2)求二面角A-PD-E的正弦值,(3)求点C到平面PDE的距离. 解(1)∵∠AED＝90°.∴AE⊥ED．∵PA⊥平面ABCDE.∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE.所以DE⊥AG..为中点.所以AG⊥PE.DE∩PE＝E.∴AG⊥平面PDE --------- (2)∵∠AED＝90°.∴AE⊥ED． ∵PA⊥平面ABCDE.∴PA⊥ED．∴ED⊥平面PAE． 过A作AG⊥PE于G.过DE⊥AG.∴AG⊥平面PDE．过G作GH⊥PD于H.连AH. 由三垂线定理得AH⊥PD．∴∠AHG为二面角A-PD-E的平面角． 在直角△PAE中.AG＝2a．在直角△PAD中.AH＝a ∴在直角△AHG中.sin∠AHG＝＝． ∴二面角A-PD-E的正弦值为． ----------------.. (3)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°, BC=DE=2a,AB=AE=4a, 取AE中点F.连CF.∵AF∥=BC,∴四边形ABCF为平行四边形． ∴CF∥AB.而AB∥DE.∴CF∥DE.而DE平面PDE.CF平面PDE. ∴CF∥平面PDE．∴点C到平面PDE的距离等于F到平面PDE的距离． ∵PA⊥平面ABCDE.∴PA⊥DE． 又∵DE⊥AE.∴DE⊥平面PAE．∴平面PAE⊥平面PDE． ∴过F作FG⊥PE于G.则FG⊥平面PDE．∴FG的长即F点到平面PDE的距离．在△PAE中.PA=AE=4a.F为AE中点.FG⊥PE. ∴FG=a． ∴点C到平面PDE的距离为a．---- 【
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