已知集合对于..定义A与B的差为 A与B之间的距离为 (Ⅰ)证明:.且; (Ⅱ)证明:三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P.P中有m个元素.记P中所有两元素间距离的平均值为. 证明:≤. [分析]:这道题目的难点主要出现在读题上.这里简要分析一下. 题目所给的条件其实包含两个定义.第一个是关于的.其实中的元素就是一个n维的坐标.其中每个坐标值都是0或者1. 也可以这样理解.就是一个n位数字的数组.每个数字都只能是0和1. 第二个定义叫距离.距离定义在两者之间.如果直观理解就是看两个数组有多少位不同.因为只有0和1才能产生一个单位的距离.因此这个大题最核心的就是处理数组上的每一位数.然后将处理的结果综合起来.就能看到整体的性质了. 第一问.因为每个数位上都是0或者1.取差的绝对值仍然是0或者1.符合的要求.然后是减去C的数位.不管减去的是0还是1. 每一个a和每一个b都是同时减去的.因此不影响他们原先的差. 第二问.先比较A和B有几个不同(因为距离就是不同的有几个).然后比较A和C有几个不同.这两者重复的(就是某一位上A和B不同.A和C不同.那么这一位上B和C就相同)去掉两次(因为在前两次比较中各计算了一次).剩下的就是B和C的不同数目.很容易得到这样的关系式:.从而三者不可能同为奇数. 第三问.首先理解P中会出现个距离.所以平均距离就是距离总和再除以.而距离的总和仍然可以分解到每个数位上.第一位一共产生了多少个不同.第二位一共产生了多少个不同.如此下去.直到第n位.然后思考.第一位一共m个数.只有0和1会产生一个单位距离.因此只要分开0和1的数目即可.等算出来一切就水到渠成了. 此外.这个问题需要注意一下数学语言的书写规范. 解:(1)设 因.故.即 又当时.有, 当时.有故 (2)设 记 记.由第一问可知: 即中1的个数为k.中1的个数为l. 设t是使成立的i的个数.则有. 由此可知.不可能全为奇数.即三个数中至少有一个是偶数.(3)显然P中会产生个距离.也就是说.其中表示P中每两个元素距离的总和.分别考察第i个位置.不妨设P中第i个位置一共出现了个1. 那么自然有个0.因此在这个位置上所产生的距离总和为. 那么n个位置的总和即 【
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