例6．已知抛物线和三个点.过点的一条直线交抛物线于.两点.的延长线分别交曲线于． (1)证明三点共线, (2)如果...四点共线.问:是否存在.使以线段为直径的圆与抛物线有异于.的交点?如果存在.——青夏教育精英家教网—

例6．已知抛物线和三个点.过点的一条直线交抛物线于.两点.的延长线分别交曲线于． (1)证明三点共线, (2)如果...四点共线.问:是否存在.使以线段为直径的圆与抛物线有异于.的交点?如果存在.求出的取值范围.并求出该交点到直线的距离,若不存在.请说明理由．解:(1)设. 则直线的方程:.即因在上.所以① 又直线方程: 由得:.所以同理..所以直线的方程: 令得将①代入上式得.即点在直线上.所以三点共线 (2)由已知共线.所以以为直径的圆的方程:.由得所以. .要使圆与抛物线有异于的交点.则.所以存在.使以为直径的圆与抛物线有异于的交点 .则.所以交点到的距离为例7．已知中心在原点的双曲线的一个焦点是.一条渐近线的方程是． (Ⅰ)求双曲线的方程, (Ⅱ)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点.且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为.求的取值范围．解:(Ⅰ)设双曲线的方程为.由题设得解得所以双曲线的方程为． (Ⅱ)设直线的方程为.点.的坐标满足方程组将①式代入②式.得.整理得．此方程有两个不等实根.于是.且．整理得． ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 .．从而线段的垂直平分线的方程为．此直线与轴.轴的交点坐标分别为.．由题设可得．整理得.．将上式代入③式得. 整理得.．解得或．所以的取值范围是．变式: 设椭圆中心在坐标原点.是它的两个顶点.直线与AB相交于点D.与椭圆相交于E.F两点． (Ⅰ)若.求的值,(Ⅱ)求四边形面积的最大值．解:(Ⅰ)依题设得椭圆的方程为. 直线的方程分别为.．如图.设.其中. 且满足方程.故．① 由知.得, 由在上知.得．. 化简得.解得或． (Ⅱ)根据点到直线的距离公式和①式知.点到的距离分别为 .．又.所以四边形的面积为 . 当.即当时.上式取等号．所以的最大值为．反馈练习:1．已知变量满足约束条件则的最大值为 A． B． C． D．【查看更多】

已知抛物线和三个点，过点的一条直线交抛物线于、两点，的延长线分别交曲线于．