函数的概念: (1)映射:设非空数集A.B.若对集合A中任一元素a.在集合B中有唯一元素b与之对应.则称从A到B的对应为映射.记为f:A→B.f表示对应法则.b=f(a).若A中不同元素的象也不同.则称映射为单射.若B中每一个元素都有原象与之对应.则称映射为满射.既是单射又是满射的映射称为一一映射. (2)函数定义:函数就是定义在非空数集A.B上的映射.此时称数集A为定义域.象集C={f(x)|x∈A}为值域.定义域.对应法则.值域构成了函数的三要素.从逻辑上讲.定义域.对应法则决定了值域.是两个最基本的因素.逆过来.值域也会限制定义域. 求函数定义域.通过解关于自变量的不等式(组)来实现的.要熟记基本初等函数的定义域.通过四则运算构成的初等函数.其定义域是每个初等函数定义域的交集.复合函数定义域.不仅要考虑内函数的定义域.还要考虑到外函数对应法则的要求.理解函数定义域.应紧密联系对应法则.函数定义域是研究函数性质的基础和前提. 函数对应法则通常表现为表格.解析式和图象.其中解析式是最常见的表现形式.求已知类型函数解析式的方法是待定系数法.抽象函数的解析式常用换元法及凑合法. 求函数值域是函数中常见问题.在初等数学范围内.直接法的途径有单调性.基本不等式及几何意义.间接法的途径为函数与方程的思想.表现为△法.反函数法等.在高等数学范围内.用导数法求某些函数最值更加方便. 在中学数学的各个部分都存在着求取值范围这一典型问题.它的一种典型处理方法就是建立函数解析式.借助于求函数值域的方法. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

根据连续函数的概念,说明下列函数点x=x0处是否连续?

1)    (2)

 

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根据连续函数的概念,说明下列函数点x=x0处是否连续?

1)    (2)

 

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函数的概念

设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数,记作y=f(x),x∈A.

其中x叫________,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的________;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函数y=f(x)的________.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”,有时简记作函数________.

(1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应f:A→B,这里A、B为________的数集.

(2)A:定义域;{f(x)|x∈A}:值域,其中{f(x)|x∈A}________B;f:对应法则,x∈A,y∈B.

(3)函数符号:y=f(x)y是x的函数,简记f(x).

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函数概念的发展历程

  17世纪,科学家们致力于运动的研究,如计算天体的位置,远距离航海中对经度和纬度的测量,炮弹的速度对于高度和射程的影响等.诸如此类的问题都需要探究两个变量之间的关系,并根据这种关系对事物的变化规律作出判断,如根据炮弹的速度推测它能达到的高度和射程.这正是函数产生和发展的背景.

  “function”一词最初由德国数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646~1716)在1692年使用.在中国,清代数学家李善兰(1811~1882)在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代徽积拾级》中首次将“function”译做“函数”.

  莱布尼兹用“函数”表示随曲线的变化而改变的几何量,如坐标、切线等.1718年,他的学生,瑞士数学家约翰·伯努利(J.Bernoulli,1667~1748)强调函数要用公式表示.后来,数学家认为这不是判断函数的标准.只要一些变量变化,另一些变量随之变化就可以了.所以,1755年,瑞士数学家欧拉(L.Euler,1707~1783)将函数定义为“如果某些变量,以一种方式依赖于另一些变量,我们将前面的变量称为后面变量的函数”.

  当时很多数学家对于不用公式表示函数很不习惯,甚至抱怀疑态度.函数的概念仍然是比较模糊的.

  随着对微积分研究的深入,18世纪末19世纪初,人们对函数的认识向前推进了.德国数学家狄利克雷(P.G.L.Dirichlet,1805~1859)在1837年时提出:“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,则y是x的函数”.这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个值,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是公式、图象、表格还是其他形式.19世纪70年代以后,随着集合概念的出现,函数概念又进而用更加严谨的集合和对应语言表述,这就是本节学习的函数概念.

  综上所述可知,函数概念的发展与生产、生活以及科学技术的实际需要紧密相关,而且随着研究的深入,函数概念不断得到严谨化、精确化的表达,这与我们学习函数的过程是一样的.

你能以函数概念的发展为背景,谈谈从初中到高中学习函数概念的体会吗?

1.探寻科学家发现问题的过程,对指导我们的学习有什么现实意义?

2.莱布尼兹、狄利克雷等科学家有哪些品质值得我们学习?

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(2013•闸北区一模)假设你已经学习过指数函数的基本性质和反函数的概念,但还没有学习过对数的相关概念.由指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在实数集R上是单调函数,可知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)存在反函数y=f-1(x),x∈(0,+∞).请你依据上述假设和已知,在不涉及对数的定义和表达形式的前提下,证明下列命题:
(1)对于任意的正实数x1,x2,都有f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2)
(2)函数y=f-1(x)是单调函数.

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