[例1]图①是某公共汽车线路收支差额y元与乘客量x的图象. (1)试说明图①上点A.点B以及射线AB上的点的实际意义. (2)由于目前本条线路亏损.公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议.如图②③所示.你能根据图象.说明这两种建议的意义吗? (3)图①.图②中的票价是多少元?图③中的票价是多少元?票价在图中的几何意义是什么? 解:(1)点A表示无人乘车时收入差额为-20元.点B表示有10人乘车时收入差额为0元.线段AB上的点表示亏损.AB延长线上的点表示赢利. (2)图②的建议是降低成本.票价不变.图③的建议是增加票价. (3)图①②中的票价是2元.图③中的票价是4元. 票价在图中的几何意义是直线的斜率. 知识.感悟:图象的意义和函数式中系数的实际意义. [例2](1)若方程有两个不同的实数根.求实数m的范围. (2)求不等式的解, 解:(1)方程的根就是函数和 的图象交点的横坐标.当 在如图两直线之间时有两交点. 由 由 ∴ (2)解方程得.结合图形知.不等式的解集为 点评:利用函数图象的交点研究方程的根.不等式的解,这是数形结合的典范.要能熟练运用. [例3]已知函数 (1)证明函数y=f(x)的图象关于点对称 (2)求f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)的值 证明(1)设是图象上任一点.则 又P关于点对称点为Q(1-x,1-y) 所以.函数y=f(x)的图象关于点对称, (2)由对称性知f(1-x)+f(x)=1,所以 f(-2)+ f(-1)+ f(0)+ f(1)+ f(2)+ f(3)=3. 归纳方法: (1)会求对称点的坐标; :证对称性就是证图象上任一点(x,y)关于“xx“对称的点仍在图象上, (2)注意解析式的变换运用和既得结论的应用. [例4] 给定实数a.a≠0且a≠1.设函数y＝ (其中x∈R且x≠).证明:①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴, ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像. [证明] ① 设是函数图像上任意两个不同的点.则, 假设直线平行于x轴.则必有.即＝.整理得 ∵ ∴ a＝1. 这与已知“a≠1 矛盾. 因此假设不对.即直线不平行于x轴. ② 由y＝得axy-y＝x-1,即(ay-1)x＝y-1,所以x＝.即原函数y＝的反函数为y＝.图像一致.由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到.函数y＝的图像关于直线y＝x成轴对称图像. 对于“不平行 这样否定性结论可使用反证法.假设“平行 .经推理.导出矛盾.第②问中.对称问题运用了反函数图象的对称性.方法巧妙.体现了知识间的联系和解题思路的灵活性. [研究.欣赏] 设函数. (1)在区间上画出函数的图像, (2)设集合 . 试判断集合和之间的关系.并给出证明, (3)当时.求证:在区间上.的图像位于函数图像的上方. 解:(1) (2)方程的解分别是和.由于在和上单调递减.在和上单调递增.因此 . 由于 (3)[解法一] 当时.. . 又. ① 当.即时.取. . . 则. ② 当.即时.取. ＝. 由 ①.②可知.当时... 因此.在区间上.的图像位于函数图像的上方. [解法二] 当时.. 由 得. 令 .解得 或. 在区间上.当时.的图像与函数的图像只交于一点, 当时.的图像与函数的图像没有交点. 如图可知.由于直线过点.当时.直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此.在区间上.的图像位于函数图像的上方. 【
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