中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且

.

MB

=λ

.

BN

．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使

.

OB

⊥（

.

CM

-λ

.

CN

）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且=λ．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使⊥（-λ）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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中心在原点的双曲线C₁的一个焦点与抛物线C₂：y²=8x的焦点F重合，抛物线C₂的准线l与双曲线C₁的一个交点为A，且|AF|=5．
（Ⅰ）求双曲线C₁的方程；
（Ⅱ）若过点B（0，1）的直线m与双曲线C₁相交于不同两点M，N，且=λ．
①求直线m的斜率k的变化范围；
②当直线m的斜率不为0时，问在直线y=x上是否存在一定点C，使⊥（-λ）？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、选择题

1―5 CADBA    6―10 CBABD    11―12 CC

二、填空题

13．（理）（文）（―1，1）    14．    15．（理）18（文）（1，0）

16．①③

三、解答题

17．解：（1）由题意得   ………………2分

   （2）由可知A、B都是锐角，   …………7分

    这时三角形为有一顶角为120°的等腰三角形   …………12分

18．（理）解：（1）ξ的所有可能的取值为0，1，2，3。  ………………2分

   （2）   ………………12分

   （文）解：（1）；  ………………6分

   （2）因为

      …………10分

    所以   …………12分

19．解：（1），   ………………1分

    依题意知，   ………………3分

   （2）令   …………4分

     …………5分

    所以，…………7分

   （3）由上可知

    ①当恒成立，

    必须且只须， …………8分

    ，

     则   ………………9分

    ②当……10分

    要使当

    综上所述，t的取值范围是   ………………12分

20．解法一：（1）取BB₁的中点D，连CD、AD，则∠ACD为所求。…………1分

   （2）方法一 作CE⊥AB于E，C₁E₁⊥A₁B₁于E₁，连EE₁，

则AB⊥面CC₁E₁E，因此平面PAB⊥面CC₁E₁E。

因为A₁B₁//AB，所以A₁B₁//平面PAB。则只需求点E₁到平面PAB的距离。

作E₁H⊥EP于H，则E₁H⊥平面PAB，则E₁H即为所求距离。  …………6分

求得 …………8分

方法二：设B₁到平面PAB的距离为h，则由

得  ………………8分

   （3）设平面PAB与平面PA₁B₁的交线为l，由（2）知，A₁B₁//平面PAB，

则A₁B₁//l，因为AB⊥面CC₁E₁E，则l⊥面CC₁E₁E，

所以∠EPE₁就是二面有AB―P―A₁B的平面角。 ………………9分

要使平面PAB⊥平面PA₁B₁，只需∠EPE₁=90°。  ………………10分

在矩形CEE₁C₁中，

解得