12．已知二次函数f(x)＝ax2+bx+c(x∈R).满足f(0)＝f()＝0.且f(x)的最小值是-.设数列{an}的前n项和为Sn.对一切n∈N*.点(n.Sn)在函数f(x)的图象上． (1)求数列{an}的通项公式, (2)通过bn＝构造一个新的数列{bn}.是否存在非零常数c.使得{bn}为等差数列, (3)令cn＝.设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn.求Tn. 解:(1)因为f(0)＝f()＝0.所以f(x)的对称轴为x＝＝.又因为f(x)的最小值是-.由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x-)2-. 又f(0)＝0.所以a＝2.所以f(x)＝2(x-)2-＝2x2-x. 因为点(n.Sn)在函数f(x)的图象上.所以Sn＝2n2-n.当n＝1时.a1＝S1＝1,当n≥2时.an＝Sn-Sn-1＝4n-3(n＝1时也成立).所以an＝4n-3(n∈N*)． (2)因为bn＝＝＝.令c＝-(c≠0).即得bn＝2n.此时数列{bn}为等差数列.所以存在非零常数c＝-.使得{bn}为等差数列． (3)cn＝＝＝2n.则cn·2cn＝2n×22n＝n×22n+1. 所以Tn＝1×23+2×25+-+(n-1)22n-1+n×22n+1. 4Tn＝1×25+2×27+-+(n-1)22n+1+n×22n+3. 两式相减得:-3Tn＝23+25+-+22n+1-n×22n+3＝-n·22n+3. Tn＝+＝. 【
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