如图1，Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的两旁．连接AC，
（1）点O、E分别是AC、BD的中点，过点C作AE的平行线与EO的延长线交于点F，求证：四边形AFCE是菱形．
（2）如果Rt△BAD与Rt△BCD的直角顶点A、C在斜边BD所在直线的同侧（如图2），保持（1）中其它条件不变，则（1）中的结论是否成立？请在图2上画出相应图形并写明结论．（画出图形，写明结论，不需证明）
（3）在图2中，过B、D两点分别向AC所在直线作垂线，垂足为M、N（如图3），则AM与CN是否相等？如果相等，给出证明；如果不相等，请说明理由．

探索发现
已知：在梯形ABCD中，CD∥AB，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点O，连接EO并延长交AB于点M，交CD于点N．
（1）如图①，如果AD=BC，求证：直线EM是线段AB的垂直平分线．
（2）如图②，如果AD≠BC，那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．
学以致用
仅用直尺（没有刻度），试作出图③中的矩形ABCD的一条对称轴．（写出作图步骤，保留作图痕迹）