设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F₁、F₂，过点F₂的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF₁为正三角形，则该双曲线的离心率为．

设双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，点A、B分别为双曲线C实轴的左端点和虚轴的上端点，点F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，点M、N是双曲线C的右支上不同两点，点Q为线段MN的中点．已知在双曲线C上存在一点P，使得

PA

+

PB

+

PF2

=(

3

-3)

OP

．
（Ⅰ）求双曲线C的离心率；
（Ⅱ）设a为正常数，若点Q在直线y=2x上，求直线MN在y轴上的截距的取值范围．

设双曲线C：

y2

a2

-

x2

3

=1(a＞0)的两条渐近线l₁，l₂与以点（1，0）为圆心，

1

2

为半径的圆相切．
（I）求a的值；
（II）若双曲线C的两个焦点分别为F₁、F₂，A、B分别为l₁，l₂上的点，且2|AB|=3|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？