32.解:设点.点.则. 由.得. 即.得.且. 即.且.而点是直线上.则. 得.即为所求. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量

,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值为.

(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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在四棱锥中,平面,底面为矩形,.

(Ⅰ)当时,求证:

(Ⅱ)若边上有且只有一个点,使得,求此时二面角的余弦值.

【解析】第一位女利用线面垂直的判定定理和性质定理得到。当a=1时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………2分

,得证。

第二问,建立空间直角坐标系,则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)……4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》

要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得

由此知道a=2,  设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

解:(Ⅰ)当时,底面ABCD为正方形,

又因为,………………3分

(Ⅱ) 因为AB,AD,AP两两垂直,分别以它们所在直线为X轴、Y轴、Z轴建立坐标系,如图所示,

则B(1,0,1)D(0,a,0)C(1,a,0)P(0,0,1)…………4分

设BQ=m,则Q(1,m,0)(0《m《a》要使,只要

所以,即………6分

由此可知时,存在点Q使得

当且仅当m=a-m,即m=a/2时,BC边上有且只有一个点Q,使得由此知道a=2,

设平面POQ的法向量为

,所以    平面PAD的法向量

的大小与二面角A-PD-Q的大小相等所以

因此二面角A-PD-Q的余弦值为

 

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如图,分别是椭圆+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)已知△的面积为40,求的值.

【解析】 (Ⅰ)由题=60°,则,即椭圆的离心率为

(Ⅱ)因△的面积为40,设,又面积公式,又直线

又由(Ⅰ)知,联立方程可得,整理得,解得,所以,解得

 

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f (x)=sin 2x(sin x-cos x)(sin x+cos x),其中x∈R.

(Ⅰ) 该函数的图象可由 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

(Ⅱ)若f (θ)=,其中,求cos(θ)的值;

【解析】第一问中,

变换分为三步,①把函数的图象向右平移,得到函数的图象;

②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象;

③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;

第二问中因为,所以,则,又 ,,从而

进而得到结论。

(Ⅰ) 解:

。…………………………………3

变换的步骤是:

①把函数的图象向右平移,得到函数的图象;

②令所得的图象上各点的纵坐标不变,把横坐标缩短到原来的倍,得到函数的图象;

③令所得的图象上各点的横坐标不变,把纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数的图象;…………………………………3

(Ⅱ) 解:因为,所以,则,又 ,,从而……2

(1)当时,;…………2

(2)当时;

 

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已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

单调递减;当单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当.        ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(Ⅱ)由题意知,

,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当

从而

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

 

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