练习册

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    上课伊始.古老师问:“第19题的标准解法.昨天已经发给同学们了. 请问:我上面标出的前3个问题.你们都答好了吗? 同学们纷纷翻开那张教案.齐答:“答好了! 古老师立即作巡视检查. 古老师看了好几个同学画的图.似乎都不满意.最后在某个学生面前驻足: “你画的图真漂亮啊.请你在黑板上也画出这个图形. 受到老师的表扬.这个同学高兴地走上讲台.认真地画出了图1-1. 不料古老师话锋一转:“可惜有一处错误. 刚回到座位的那位同学突然愣住.赶紧重新端详自己所画的图形.却是 一脸茫然.其他同学也是左顾右盼.没有发现图1-1与自己所画的图形有什 图1-1 么不同.这图到底错在哪里呢?.没有人能够道出其中原委. 古老师问:“你们认为一定是锐角三角形吗? 谁也没有认真考察的形状.大家再次左顾右盼.果然发现:多数人都将画成了锐角三角形.也有将画成直角或钝角的. 古老师说:“这样吧.我们先寻找第(2)问的其他解法. 首先.你们有办法求出线段和之长吗? 学生A:“我是这样想的. :如图1-2.设.则.∵PQ平分. 图1-2 图1-2 图1-2 得.于是但是.- 不待学生A发言完毕.学生B惊叫道:“好啊.勾3. 股4.弦5. 是直角三角形! (许多人也恍然大悟:原来应该是个直角.) 学生A显然不满意他的插话.横了他一眼.继续说道: “既然是直角三角形.说明PF2⊥F1F2.在方程 图1-2 中令x=2,得y=±3. 故所求点P的坐标为. (我们注意到:在学生A回答问题的过程中.古老师在黑板上 随时记录下他发言的要点.就好象学生A是主讲.而古老师反而是助教一样) 接着.学生C也讲了他的思路(同样.古老师也做他的`助教’):“A同学是用双曲线第一定义做的.我以为用第二定义做也不错:由(1)双曲线的离心率e=2.∵在双曲线上.∴ (有人问道:咦.这两个这两个等式是怎么来的?学生C立即补充:∵双曲线右准线为.根据圆锥曲线的统一定义..但是 .然后接着讲:) ∵PQ平分.∴解得.以下解法.与A同学相同. 古老师表扬道:“同学A借助了`形’.而同学C深挖了`数’他们 的解法果然比标答要好.请问:还有其他的解法吗? 同学D:“我是用平面几何的知识解的. “好啊!.平面几何利用图形说话,是无声的语言,妙得很呢! 古老师 兴趣盎然地鼓励他:“把你的思路讲出来吧! (全班同学立即将目光扫了过去.看得出大家都很感兴趣.) 同学D接着说: “如图1-3,在上截取.再连结QR. 图1-3 那么.但是三角形PQR和PQF2全等.∴ 而. - “神了.的三边长依次为.同样满足勾股定理.也是直角三角形. 同学B乐得大叫. (同学D却并不埋怨B抢了他的风头.笑着问:“以下怎么办哪? ) “以下.∠PF2Q=∠PRQ=90°,∴PF2⊥F1F2,在方程中令x=2,得y=±3. 故所求点P的坐标为. “这样做法当然可以,可是没有什么新意.我既是用几何法,就索性`几何’到底,由△F1QR∽△F1 P F2得: .于是得P(2,3).当点P在x轴下方时.则有P. 学生B也实在机灵:“你的几何法未必有我的三角法好:设∠P F1F2=α,则.于是 . 古老师微笑着倾听他们的争执.直到问题明朗.才说:“好啊.越讲越精彩.可是对同学D这种解法.我不能评满分. 听了这句话.许多同学.特别是正得意于自己成就的同学D.又是一脸茫然. 古老师提示道:“只有知道比更长.才有可能在上截取. 同学D马上明白了:“应该加一句:∵点P在双曲线右支.∴＞. 古老师点头认可.接着说:“请问还有其他的解法吗? 欲言又止的同学E早被古老师发现了,立即望着他:“你好像有话要说. “我想,既然在上截取可以成功,那么如图1-4.将P F2 延长到R,使,再连结QR,也应该可以成功.这算不算不同的解法? “当然算!.不过我相信大家都明白你的意思.那么你以下的工作.就留待 大家共同完成吧. 最后.古老师将他的学生们着实地表扬了一顿:“今天我们看到: 图1-4 第19题的第2问.除标答外.我们又发现了4种不同的解法(同学B补充的 三角解法也很有创意).可以说这4种解法都比标答要好. 神奇的勾3.股4.弦5就隐藏在题目之中.这大概连命题人自己也没有想到. 可是却被我们的同学发现了.这难道还不够精彩吗? (我们看到.几乎全班同学都裂开嘴笑了.他们在享受自己的成功.) “今天的课就讲到这里吧.你们知道该干什么吗? “知道! 同学们齐声回答. (我们一看时间.这节课还有12分钟.不禁疑惑:怎么这么早就下课了?我俏俏地问附近的一位学生:古老师让你们干什么?他说:“将今天讲的4种解法“趁热打铁 地落实下来! ) 这时教室里静静的.同学们都在那份“教案 后的空白处最后专心致志地写着.古老师只巡回检查.不时给个别学生指点着什么. 下课铃响了.我们发现:至少有半数以上的学生都交了作业.我异常纳闷:他们咋做得这么快?便悄悄地询问个中原因.他们说:“古老师早就交代我们.可以随着课堂的进展边讲边做.这样既节约时间.效果又高. “啊.原来如此! 【查看更多】

     

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