16.解:由题设知. 则 ② 由②得... 因为.解得或. 当时.代入①得.通项公式, 当时.代入①得.通项公式. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.

(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;

(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.

【解析】解:.

单调递减;当单调递增,故当时,取最小值

于是对一切恒成立,当且仅当.        ①

时,单调递增;当时,单调递减.

故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.

综上所述,的取值集合为.

(Ⅱ)由题意知,

,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当

从而

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.

 

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设函数f(x)=lnxgx)=ax+,函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上,且在此点处f(x)与g(x)有公切线.[来源:学。科。网]

(Ⅰ)求a、b的值; 

(Ⅱ)设x>0,试比较f(x)与g(x)的大小.[来源:学,科,网Z,X,X,K]

【解析】第一问解:因为f(x)=lnxgx)=ax+

则其导数为

由题意得,

第二问,由(I)可知,令

,  …………8分

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0,            …………9分

∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有

解:因为f(x)=lnxgx)=ax+

则其导数为

由题意得,

(11)由(I)可知,令

,  …………8分

是(0,+∞)上的减函数,而F(1)=0,            …………9分

∴当时,,有;当时,,有;当x=1时,,有

 

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如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)证明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

 

【解析】解法一:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)证明:易得于是,所以

(2) ,设平面PCD的法向量

,即.不防设,可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

所以二面角A-PC-D的正弦值为.

(3)设点E的坐标为(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)证明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如图,作于点H,连接DH.由,,可得.

因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值为.

(3)如图,因为,故过点B作CD的平行线必与线段AD相交,设交点为F,连接BE,EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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已知m>1,直线,椭圆C:分别为椭圆C的左、右焦点.

(Ⅰ)当直线过右焦点时,求直线的方程;

(Ⅱ)设直线与椭圆C交于A、B两点,△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内,求实数m的取值范围.[

【解析】第一问中因为直线经过点,0),所以,得.又因为m>1,所以,故直线的方程为

第二问中设,由,消去x,得

则由,知<8,且有

由题意知O为的中点.由可知从而,设M是GH的中点,则M().

由题意可知,2|MO|<|GH|,得到范围

 

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如图,分别是椭圆+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,=60°.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)已知△的面积为40,求的值.

【解析】 (Ⅰ)由题=60°,则,即椭圆的离心率为

(Ⅱ)因△的面积为40,设,又面积公式,又直线

又由(Ⅰ)知,联立方程可得,整理得,解得,所以,解得

 

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