设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.

（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得

；

（2）当时，若，

求证：；

（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：

“若，则.”

开展了研究并发现其为假命题.

请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：

① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；

② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.

【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

【解析】第一问利用抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得到

第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

第三问中①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；

解：（1）抛物线的焦点为，设，

分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

 

因为，所以，

故可取满足条件.

（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.

由抛物线定义得

   又因为

；

所以.

（3） ①取时，抛物线的焦点为，

设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，

则，不妨取；；；，

则，

.

故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)

② 设，分别过作

抛物线的准线的垂线，垂足分别为，

由及抛物线的定义得

，即.

因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，

而，所以.

（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）

③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：

“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，

分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，

及抛物线的定义得，即，则

，

又由，所以，故命题为真.

补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：

“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）

 

已知命题“椭圆的焦点在轴上”；

命题在上单调递增，若“”为假，求的取值范围．

【解析】主要考查了命题中复合命题的真值问题的判定，以及椭圆，导数的运用。

首先求解若p为真，则m2.

若q为真，=0在R上恒成立。

所以      所以

而要是为假，则，这样就可以得到了。

若p为真，则m2.                                              2分

   若q为真，=0在R上恒成立。      

所以      所以                        3分

若为假，所以为真                                    2分

所以m2且，     所以

 

A、0个

B、1个

C、2个

D、3个

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为-1，有以下命题：
（1）f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的极值点有且仅有一个
（3）f（x）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

若函数f（x）=x³+ax²+bx+c，x∈[-2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为-1，有以下命题：
（1）f（x）的解析式为：f（x）=x³-4x，x∈[-2，2]
（2）f（x）的极值点有且仅有一个
（3）f（x）的最大值与最小值之和等于零
其中假命题个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个