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    求证: 20090515 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)

    （2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
    an-1-4 (an-1＞4)
    5-an-1 (an-1≤4)

    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N 2 3 51 200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b n=
    an
    (-2)n
    ，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
    5
    3
    时，T n＜
    5-3a
    3
    ．

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    已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n
    （I）当a=200时，填写下列表格；
    N2351200
    an
    （II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
    （III）令b，Tn=b1+b2…+bn求证：当1时，T．

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    设定义在R上的函数f （x）=a0x4+a1x3+a2x2+a3x （ai∈R，i=0，1，2，3 ），当x=-
    		2
    2
    时，f （x）取得极大值
    		2
    3
    ，并且函数y=f（x）的图象关于y轴对称．
    （1）求f （x）的表达式；
    （2）试在函数f （x）的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[-1，1]上；
    （3）求证：|f （sin x）-f （cos x）|≤
    2
    		2
    3
    （x∈R）．

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    已知数列an的前n项和Sn满足条件2Sn=3（an-1），其中n∈N*．
    （1）求证：数列an成等比数列；
    （2）设数列bn满足bn=log3an．若 tn=
    1bnbn+1
    ，求数列tn的前n项和．

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    精英家教网如图，四棱锥S-ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，P为BC边的中点，SB与平面ABCD所成的角为45°，且AD=2，SA=1．
    （Ⅰ）求证：PD⊥平面SAP，
    （Ⅱ）求二面角A-SD-P的大小的正切值．

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    一、选择题

    CBACD  ADBAC  DB

    二、填空题

    13.    14.20     15.    16.①③④

    三、解答题

    17．解：（1）由题设

    ……………………2分

    …………………………3分

    由

    得…………………………5分

    …………………………6分

    （2）设图象向左平移m个单位，得到函数的图象.

    则，…………………………8分

    对称，

    …………………………10分

    …………………………12分

    18．（本小题满分12分）

    解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

    由题设知

    则

    ……………………3分

    又

    又

    ，

    …………………………6分

    （2）…………………………7分

    ①

      ②……………………9分

    ①―②得

    …………………………12分

    19．（本小题满分12分）

    证明：（1）取AC中点O，

    ∴PO⊥AC，

    又∵面PAC⊥面ABC，PO面PAC，

    ∴PO⊥面ABC，……………………2分

    连结OD，则OD//BC，

    ∴DO⊥AC，

    由三垂线定理知AC⊥PD.……………………4分

    （2）连接OB，过E作EF⊥OB于F，

    又∵面POB⊥面ABC，

    ∴EF⊥面ABC，

    过F作FG⊥AC，连接EG，

    由三垂线定理知EG⊥AC，

    ∴∠EGF即为二面角E―AC―B的平面角…………6分

    在

    在

    ∴……………………9分

    （3）由题意知

    又

    即.…………………………12分

    20．（本小题满分12分）

    解：（1）设“生产一台仪器合格”为事件A，则

    ……………………2分

    （2）每月生产合格仪器的数量可为3，2，1，0，则

    所以的分布列为：

    3

    2

    1

    0

    P

     

    ∴的数学期望

    …………9分

    （3）该厂每生产一件仪器合格率为，

    ∴每台期望盈利为（万元）

    ∴该厂每月期望盈利额为万元……………………12分

    21．（本小题满分12分）

    解：（1）设

    ，

    ，

    …………………………3分

    ，这就是轨迹E的方程.……………………4分

    （2）当时，轨迹为椭圆，方程为①…………5分

    设直线PD的方程为

    代入①，并整理，得

       ②

    由题意，必有，故方程②有两上不等实根.

    设点

    由②知，………………7分

    直线QF的方程为

    当时，令得，

    将代入

    整理得，

    再将代入，

    计算，得x=1，即直线QF过定点（1，0）

    当k=0时，（1，0）点……………………12分

    22．（本小题满分14分）

    解：（1）

    由题知，即a-1=0，∴a=1.……………………………2分

    则

    ∵x≥0，∴≥0，≥0，

    又∵＞0，∴x≥0时，≥0，

    ∴在上是增函数.……………………4分

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知

    ∴

    下面用数学归纳法证明＞0.

    ①当n=1时，=1＞0成立；

    ②假设当时，＞0,

    ∵在上是增函数，

    ∴＞

    ∴＞0成立，

    综上当时，＞0.……………………………………6分

    又

    ∵＞0,1+＞1,∴＞0,

    ∵＞0,∴＜，…………………………………8分

    而=1,∴≤1，综上，0＜≤1.……………………………9分

    （3）∵0＜＜≤1，

    ∴＜,

    ∴＜,

    ∴＜,

    ∴＞＞0,………………………………………11分

    ∴=?…＜?……

      =n.……………………………12分

    ∴Sn＝++…+

    ＜+()2+…+()n

    ＝

    ＜==1.

    ∴Sn＜1.………………………………………………………………14分

     

     

     


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