题目列表(包括答案和解析)
(本小题满分12分)已知是x,y轴正方向的单位向量,设
,
且满足
(1)、求点P(x,y)的轨迹E的方程.
(2)、若直线过点
且法向量为
,直线与轨迹E交于
两点.点
,无论直线
绕点
怎样转动,
是否为定值?如果是,求出定值;如果不是,请说明理由.并求实数
的取值范围;
(本小题满分12分)设向量,过定点A(0,-2),以
为方向向量的直线与经过点B(0,2),以向量
为方向向量的直线相交于点P,其中
,
(I)求点P的轨迹C的方程;
(II)设过的直线
与C交于两个不同点M、N,求
的取值范围。
|
|
1 |
2a |
1 |
2b |
1 |
2c |
1 |
b+c |
1 |
c+a |
1 |
a+b |
已知直三棱柱中,
,
,
是
和
的交点, 若
.
(1)求的长; (2)求点
到平面
的距离;
(3)求二面角的平面角的正弦值的大小.
【解析】本试题主要考查了距离和角的求解运用。第一问中,利用ACCA
为正方形,
AC=3
第二问中,利用面BBC
C内作CD
BC
,
则CD就是点C平面A
BC
的距离CD=
,第三问中,利用三垂线定理作二面角的平面角,然后利用直角三角形求解得到其正弦值为
解法一: (1)连AC交A
C于E, 易证ACC
A
为正方形,
AC=3
…………… 5分
(2)在面BBC
C内作CD
BC
,
则CD就是点C平面A
BC
的距离CD=
… 8分
(3) 易得AC面A
CB,
过E作EH
A
B于H, 连HC
,
则HC
A
B
C
HE为二面角C
-A
B-C的平面角. ……… 9分
sin
C
HE=
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小为
……… 12分
解法二: (1)分别以直线CB、CC
、C
A为x、y为轴建立空间直角坐标系, 设|CA|=h, 则C
(0,
0, 0), B
(4,
0, 0), B(4, -3, 0), C(0, -3,
0), A
(0,
0, h), A(0, -3, h), G(2, -
, -
) ……………………… 3分
=(2, -
, -
),
=(0,
-3, -h) ……… 4分
·
=0,
h=3
(2)设平面ABC
得法向量
=(a, b, c),则可求得
=(3, 4, 0) (令a=3)
点A到平面A
BC
的距离为H=|
|=
……… 8分
(3) 设平面ABC的法向量为
=(x, y, z),则可求得
=(0, 1, 1) (令z=1)
二面角C
-A
B-C的大小
满足cos
=
=
………
11分
二面角C
-A
B-C的平面角的正弦大小为
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