练习册

  • 练习册
  • 试题
    题型1:空间几何体的构造 例1．9.如图.已知三棱锥的底面是直角三角形.直角边长分别为3和4.过直角顶点的侧棱长为4.且垂直于底面.该三棱锥的主视图是( ) 答案 B 2. 正方体ABCD-的棱上到异面直线AB.C的距离相等的点的个数为(C) A．2 B．3 C. 4 D. 5 [答案]:C [解析]解析如图示.则BC中点.点.点.点分别到两异面直线的距离相等.即满足条件的点有四个.故选C项 (3)正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2.点M是BC的中点.点P是平面ABCD内的一个动点.且满足PM=2.P到直线A1D1的距离为.则点P的轨迹是[ ] A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 解析: 点P到A1D1的距离为.则点P到AD的距离为1.满足此条件的P的轨迹是到直线AD的距离为1的两条平行直线. 又.满足此条件的P的轨迹是以M为圆心.半径为2的圆.这两种轨迹只有两个交点. 故点P的轨迹是两个点.选项为C. 点评:该题考察空间内平面轨迹的形成过程.考察了空间想象能力. 例2． 两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体.可放棱长为1的正方体内.使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行.且各顶点均在正方体的面上.则这样的几何体体积的可能值有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个 解析:由于两个正四棱锥相同.所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心.有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半.影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积.问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种.所以选D. 点评:本题主要考查空间想象能力.以及正四棱锥的体积.正方体是大家熟悉的几何体.它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力.要学会将空间问题向平面问题转化. 题型2:空间几何体的定义 例3．如图.在半径为3的面上有三点..球心到平面的距离是.则两点的球面距离是 A. B. C. D. [考点定位]本小题考查球的截面圆性质.球面距.基础题. 解析:由知截面圆的半径 .故.所以两点的球面距离为.故选择B. 解析2:过球心作平面的垂线交平面与..则在直线上.由于..所以.由为等腰直角三角形可得.所以为等边三角形.则两点的球面距离是. 例4．2009浙江卷文)设是两个不同的平面.是一条直线.以下命题正确的是( ) A．若.则 B．若.则 C．若.则 D．若.则 [命题意图]此题主要考查立体几何的线面.面面的位置关系.通过对平行和垂直的考查.充分调动了立体几何中的基本元素关系． [解析]对于A.B.D均可能出现.而对于C是正确的．. 点评:对于空间几何体的定义要有深刻的认识.掌握它们并能判断它们的性质. 题型3:空间几何体中的想象能力 例5． 如图.在三棱锥中.底面. 点.分别在棱上.且 (Ⅰ)求证:平面, (Ⅱ)当为的中点时.求与平面所成的角的大小, (Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由. [解法1]本题主要考查直线和平面垂直.直线与平面所成的角.二面角等基础知识.考查空间想象能力.运算能力和推理论证能力． (Ⅰ)∵PA⊥底面ABC.∴PA⊥BC. 又.∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC. (Ⅱ)∵D为PB的中点.DE//BC. ∴. 又由(Ⅰ)知.BC⊥平面PAC. ∴DE⊥平面PAC.垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角. ∵PA⊥底面ABC.∴PA⊥AB.又PA=AB. ∴△ABP为等腰直角三角形.∴. ∴在Rt△ABC中..∴. ∴在Rt△ADE中.. ∴与平面所成的角的大小. 知.BC⊥平面PAC.∴DE⊥平面PAC. 又∵AE平面PAC.PE平面PAC.∴DE⊥AE.DE⊥PE. ∴∠AEP为二面角的平面角. ∵PA⊥底面ABC.∴PA⊥AC.∴. ∴在棱PC上存在一点E.使得AE⊥PC.这时. 故存在点E使得二面角是直二面角. [解法2]如图.以A为原煤点建立空间直角坐标系. 设.由已知可得 . (Ⅰ)∵. ∴.∴BC⊥AP. 又∵.∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC. (Ⅱ)∵D为PB的中点.DE//BC.∴E为PC的中点. ∴. ∴又由(Ⅰ)知.BC⊥平面PAC.∴∴DE⊥平面PAC.垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角. ∵. ∴. ∴与平面所成的角的大小. (Ⅲ)同解法1. 例6．. 如图.直三棱柱ABC-A1B1C1中.AB⊥AC,D.E分别为AA1.B1C的中点.DE⊥平面BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 解析:本题考查线面垂直证明线面夹角的求法.第一问可取BC中点F.通过证明AF⊥平面BCC1,再证AF为BC的垂直平分线.第二问先作出线面夹角.即证四边形AFED是正方形可证平面DEF⊥平面BDC.从而找到线面夹角求解.此题两问也可建立空间直角坐标系利用向量法求解. 解法一:(Ⅰ)取BC中点F.连接EF.则EF.从而EFDA. 连接AF.则ADEF为平行四边形.从而AF//DE.又DE⊥平面.故AF⊥平面.从而AF⊥BC.即AF为BC的垂直平分线.所以AB=AC. (Ⅱ)作AG⊥BD.垂足为G.连接CG.由三垂线定理知CG⊥BD.故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角.由题设知.∠AGC=600.. 设AC=2.则AG=.又AB=2.BC=.故AF=. 由得2AD=.解得AD=. 故AD=AF.又AD⊥AF.所以四边形ADEF为正方形. 因为BC⊥AF.BC⊥AD.AF∩AD=A.故BC⊥平面DEF.因此平面BCD⊥平面DEF. 连接AE.DF.设AE∩DF=H.则EH⊥DF.EH⊥平面BCD. 连接CH.则∠ECH为与平面BCD所成的角.. 因ADEF为正方形.AD=.故EH=1.又EC==2. 所以∠ECH=300.即与平面BCD所成的角为300. 解法二: (Ⅰ)以A为坐标原点.射线AB为x轴的正半轴.建立如图所示的直角坐标系A-xyz. 设B.D.则,E(..c). 于是=(..0).=.由DE⊥平面知DE⊥BC. =0.求得b=1.所以 AB=AC. (Ⅱ)设平面BCD的法向量则 又=. =,故 令x=1, 则y=1, z=,=(1,1, ). 又平面的法向量= 由二面角为60°知.=60°. 故 °.求得 于是 . . ° 所以与平面所成的角为30° 题型4:斜二测画法 例7．画正五棱柱的直观图.使底面边长为3cm侧棱长为5cm. 解析:先作底面正五边形的直观图.再沿平行于Z轴方向平移即可得 作法: (1)画轴:画X′.Y′.Z′轴.使∠X′O′Y′=45°.∠X′O′Z′=90°. (2)画底面:按X′轴.Y′轴画正五边形的直观图ABCDE. (3)画侧棱:过A.B.C.D.E各点分别作Z′轴的平行线.并在这些平行线上分别截取AA′.BB′.CC′.DD′.EE.′ (4)成图:顺次连结A′.B′.C′.D′.F′.加以整理.去掉辅助线.改被遮挡的部分为虚线 点评:用此方法可以依次画出棱锥.棱柱.棱台等多面体的直观图. 例8．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图.若的面积为.那么△ABC的面积为 . 解析:. 点评:该题属于斜二测画法的应用.解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系.特别底和高的对应关系. 题型5:平行投影与中心投影 例9．(1)如图.在正四面体A-BCD中.E.F.G分别是三角形ADC.ABD.BCD的中心.则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( ) A．①③ B．②③④ C．③④ D．②④ 如图.四棱锥S-ABCD 的底面是正方形.每条侧棱的长都是地面边长的倍.P为侧棱SD上的点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD, (Ⅱ)若SD⊥平面PAC.求二面角P-AC-D的大小 的条件下.侧棱SC上是否存在一点E. 使得BE∥平面PAC.若存在.求SE:EC的值,若不存在.试说明理由. 解法一: (Ⅰ)连BD.设AC交BD于O.由题意.在正方形ABCD中..所以,得. (Ⅱ)设正方形边长.则. 又.所以, 连.由(Ⅰ)知,所以, 且,所以是二面角的平面角. 由,知,所以, 即二面角的大小为. (Ⅲ)在棱SC上存在一点E.使 由(Ⅱ)可得.故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为.连BN.在中知.又由于,故平面.得,由于,故. 解法二: (Ⅰ),连,设交于于.由题意知.以O为坐标原点.分别为轴.轴.轴正方向.建立坐标系如图 设底面边长为.则高. 于是 故 从而 (Ⅱ)由题设知.平面的一个法向量.平面的一个法向量.设所求二面角为.则,所求二面角的大小为 (Ⅲ)在棱上存在一点使. 由(Ⅱ)知是平面的一个法向量. 且 设 则 而 即当时. 而不在平面内.故 例10．多面体上.位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图.正方体的一个顶点A在平面内.其余顶点在的同侧.正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1.2和4.P是正方体的其余四个顶点中的一个.则P到平面的距离可能是: ①3, ②4, ③5, ④6, ⑤7 以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号) 解析:如图.B.D.A1到平面的距离分别为1.2.4.则D.A1的中点到平面的距离为3.所以D1到平面的距离为6,B.A1的中点到平面的距离为.所以B1到平面的距离为5,则D.B的中点到平面的距离为.所以C到平面的距离为3,C.A1的中点到平面的距离为.所以C1到平面的距离为7,而P为C.C1.B1.D1中的一点.所以选①③④⑤. 点评:该题将计算蕴涵于射影知识中.属于难得的综合题目 题型6:三视图 例11．(1)画出下列几何体的三视图 (2) 解析:这二个几何体的三视图如下 (2)如图.设所给的方向为物体的正前方.试画出它的三视图 点评:画三视图之前.应把几何体的结构弄清楚.选择一个合适的主视方向.一般先画主视图.其次画俯视图.最后画左视图.画的时候把轮廓线要画出来.被遮住的轮廓线要画成虚线.物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律. 例12．某物体的三视图如下.试判断该几何体的形状 解析:该几何体为一个正四棱锥分析:三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图. 点评:主视图反映物体的主要形状特征.主要体现物体的长和高.不反映物体的宽.而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等.左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等.据此就不难得出该几何体的形状 【查看更多】

     

    题目列表(包括答案和解析)


    同步练习册答案