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    即l2=16 所以l=4(cm). 点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主.而直棱柱中又以正方体.长方体的表面积多被考察.我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素与面积.体积之间的关系. 例2．如图1所示.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中.已知AB=5.AD=4.AA1=3.AB⊥AD.∠A1AB=∠A1AD=. (1)求证:顶点A1在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上, (2)求这个平行六面体的体积 图1 图2 解析:(1)如图2.连结A1O.则A1O⊥底面ABCD.作OM⊥AB交AB于M.作ON⊥AD交AD于N.连结A1M.A1N.由三垂线定得得A1M⊥AB.A1N⊥AD.∵∠A1AM=∠A1AN. ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N. 从而OM=ON. ∴点O在∠BAD的平分线上. (2)∵AM=AA1cos=3×= ∴AO==. 又在Rt△AOA1中.A1O2=AA12 – AO2=9-=. ∴A1O=.平行六面体的体积为. 题型2:柱体的表面积.体积综合问题 例3．一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是.这个长方体对角线的长是( ) A．2 B．3 C．6 D． 解析:设长方体共一顶点的三边长分别为a=1.b＝.c＝.则对角线l的长为l=,答案D. 点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积.体积的几何要素-棱长. 例4．如图.三棱柱ABC-A1B1C1中.若E.F分别为AB.AC 的中点.平面EB1C1将三棱柱分成体积为V1.V2的两部分.那么V1∶V2= . 解:设三棱柱的高为h.上下底的面积为S.体积为V.则V=V1+V2＝Sh. ∵E.F分别为AB.AC的中点. ∴S△AEF=S, V1=h(S+S+)=Sh V2=Sh-V1=Sh. ∴V1∶V2=7∶5. 点评:解题的关键是棱柱.棱台间的转化关系.建立起求解体积的几何元素之间的对应关系.最后用统一的量建立比值得到结论即可 题型3:锥体的体积和表面积 例5． 7. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为. A. B. C. D. [解析]:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为1,高为2,体积为,四棱锥的底面 边长为.高为.所以体积为 所以该几何体的体积为. 答案:C [命题立意]:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. 如图.已知六棱锥的底面是正六边形. 则下列结论正确的是 A. B. C. 直线∥ D. 直线所成的角为45° [答案]D [解析]∵AD与PB在平面的射影AB不垂直.所以A不成立.又.平面PAB⊥平面PAE.所以也不成立,BC∥AD∥平面PAD, ∴直线∥也不成立.在中.PA＝AD＝2AB.∴∠PDA＝45°. ∴D正确 设OA是球O的半径.M是OA的中点.过M且与OA成45°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于.则球O的表面积等于 × 答案:8π 解析:本题考查立体几何球面知识.注意结合平面几何知识进行运算.由 例61. 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P-EFGH,下半部分是长方体ABCD-EFGH.图5.图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图; (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线BD平面PEG [解析](1)侧视图同正视图,如下图所示. (2)该安全标识墩的体积为: (3)如图,连结EG,HF及 BD.EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , 又 平面PEG 又 平面PEG,. 例7．ABCD是边长为4的正方形.E.F分别是AB.AD的中点.GB垂直于正方形ABCD所在的平面.且GC＝2.求点B到平面EFC的距离? 解:如图.取EF的中点O.连接GB.GO.CD.FB构造三棱锥B-EFG. 设点B到平面EFG的距离为h.BD＝.EF.CO＝. . 而GC⊥平面ABCD.且GC＝2. 由.得· 点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解.构造以点B为顶点.△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键.利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法.从而简化了运算. 例8．2009年上海卷理)已知三个球的半径..满足.则它们的表面积...满足的等量关系是 . [答案] [解析]..同理:.即R1＝.R2＝.R3＝.由得 例9． 如图.ABCD的边长为2的正方形.直线l与平面ABCD平行.g和F式l上的两个不同点.且EA=ED.FB=FC. 和是平面ABCD内的两点.和都与平面ABCD垂直. (Ⅰ)证明:直线垂直且平分线段AD: (Ⅱ)若∠EAD=∠EAB=60°.EF=2.求多面 体ABCDEF的体积. [思路]根据空间线面关系可证线线垂直.由分割法可求得多面体体积.体现的是一种部分与整体的基本思想 [解析](1)由于EA=ED且 点E在线段AD的垂直平分线上,同理点F在线段BC的垂直平分线上. 又ABCD是四方形 线段BC的垂直平分线也就是线段AD的垂直平分线 即点EF都居线段AD的垂直平分线上. . 所以,直线EF垂直平分线段AD. (2)连接EB.EC由题意知多面体ABCD可分割成正四棱锥E-ABCD和正四面体E-BCF两部分.设AD中点为M,在Rt△MEE中,由于ME=1, . -ABCD 又-BCF=VC-BEF=VC-BEA=VE-ABC 多面体ABCDEF的体积为VE-ABCD+VE-BCF= 例10．如图.在长方形中...为的中点.为线段上一动点．现将沿折起.使平面平面．在平面内过点 作.为垂足．设.则的取值范围是 ． 答案: [解析]此题的破解可采用二个极端位置法.即对于F位于DC的中点时..随着F点到C点时.因平面.即有.对于.又.因此有.则有.因此的取值范围是 . 例11．3.若某几何体的三视图(单位:)如图所示.则此几何体的体积是 ． [命题意图]此题主要是考查了几何体的三视图.通过三视图的考查充分体现了几何体直观的考查要求.与表面积和体积结合的考查方法． [解析]该几何体是由二个长方体组成.下面体积为.上面的长方体体积为.因此其几何体的体积为18 例12．2009全国卷Ⅰ理)直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若,.则此球的表面积等于 . 解:在中,,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为.球心为.在中.易得球半径.故此球的表面积为. 例13．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半.且.求球的表面积 解:设截面圆心为.连结.设球半径为. 则. 在中.. ∴. ∴. ∴. 点评: 正确应用球的表面积公式.建立平面圆与球的半径之间的关系. 例14．如图所示.球面上有四个点P.A.B.C.如果PA.PB.PC两两互相垂直.且PA=PB=PC=a.求这个球的表面积. 解析:如图.设过A.B.C三点的球的截面圆半径为r.圆心为O′.球心到该圆面的距离为d. 在三棱锥P-ABC中.∵PA.PB.PC两两互相垂直.且PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC内的射影即是△ABC的中心O′. 由正弦定理.得 =2r,∴r=a. 又根据球的截面的性质.有OO′⊥平面ABC.而PO′⊥平面ABC. ∴P.O.O′共线.球的半径R=.又PO′===a. ∴OO′=R - a=d=,(R-a)2=R2 – (a)2.解得R=a, ∴S球=4πR2=3πa2. 点评:本题也可用补形法求解.将P-ABC补成一个正方体.由对称性可知.正方体内接于球.则球的直径就是正方体的对角线.易得球半径R=a,下略 题型9:球的面积.体积综合问题 例15．(1)表面积为的球.其内接正四棱柱的高是.求这个正四棱柱的表面积. (2)正四面体ABCD的棱长为a.球O是内切球.球O1是与正四面体的三个面和球O都相切的一个小球.求球O1的体积. 解:(1)设球半径为.正四棱柱底面边长为. 则作轴截面如图... 又∵.∴. ∴.∴. ∴ (2)如图.设球O半径为R.球O1的半径为r.E为CD中点.球O与平面ACD.BCD切于点F.G.球O1与平面ACD切于点H 由题设 ∵ △AOF∽△AEG ∴ .得 ∵ △AO1H∽△AOF ∴ .得 ∴ 点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心.球心到各面的距离相等 题型10:球的经纬度.球面距离问题 例19．(1)我国首都靠近北纬纬线.求北纬纬线的长度等于多少?(地球半径大约为) (2)在半径为的球面上有三点..求球心到经过这三点的截面的距离. 解:(1)如图.是北纬上一点.是它的半径. ∴. 设是北纬的纬线长. ∵. ∴ 答:北纬纬线长约等于． (2)解:设经过三点的截面为⊙. 设球心为.连结.则平面. ∵. ∴. 所以.球心到截面距离为． 例16．在北纬圈上有两点.设该纬度圈上两点的劣弧长为(为地球半径).求两点间的球面距离 解:设北纬圈的半径为.则.设为北纬圈的圆心.. ∴.∴. ∴.∴. ∴中.. 所以.两点的球面距离等于． 点评:要求两点的球面距离.必须先求出两点的直线距离.再求出这两点的球心角.进而求出这两点的球面距离 2009江苏卷) 如图.在直三棱柱中..分别是.的中点.点在上.. 求证:(1)EF∥平面ABC, (2)平面平面. [解析] 本小题主要考查直线与平面.平面与平面得位置关系.考查空间想象能力.推理论证能力.满分14分 【查看更多】

     

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