题型1:作图 例1. 设函数.若对于任意的都有成立.则实数的值为 [解析]本小题考查函数单调性的综合运用.若x=0.则不论取何值.≥0显然成立,当x>0 即时.≥0可化为. 设.则. 所以 在区间上单调递增.在区间上单调递减.因此.从而≥4, 当x<0 即时.≥0可化为. 在区间上单调递增.因此.从而≤4.综上=4 [答案]4 点评:该题属于实际应用的题目.结合函数值变化的趋势和一些特殊点函数值解决问题即可.要明确函数图像与函数自变量.变量值的对应关系.特别是函数单调性与函数图象个关系, 例2.已知甲.乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线行驶.甲车.乙车的速度曲线分别为.那么对于图中给定的.下列判断中一定正确的是 ( ) A. 在时刻.甲车在乙车前面 B. 时刻后.甲车在乙车后面 C. 在时刻.两车的位置相同 D. 时刻后.乙车在甲车前面 答案 A 解析 由图像可知.曲线比在0-.0-与轴所围成图形面积大.则在.时刻.甲车均在乙车前面.选A. (2). 函数的图像大致为 . 答案 A 解析 函数有意义,需使,其定义域为,排除C,D,又因为,所以当时函数为减函数,故选A . [命题立意]:本题考查了函数的图象以及函数的定义域.值域.单调性等性质.本题的难点在于给出的函数比较复杂,需要对其先变形,再在定义域内对其进行考察其余的性质. 例3.已知函数满足.且当时..则与的图象的交点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由知函数的周期为2.作出其图象如右.当x=5时.f(x)=1,log5x=1; 当x>5时.f(x)=1∈[0.1]. log5x>1, 与的图象不再有交点.故选C [巩固]设奇函数f(x)的定义域为R.且对任意实数x满足f.若当x∈[0,1]时.f(x)=2x-1,则f()= . 例4.如图所示.一质点在平面上沿曲线运动. 速度大小不 变.其在轴上的投影点的运动速度的图象 大致为 ( ) A B C D 答案 B 解析 由图可知.当质点在两个封闭曲线上运动时.投影点的速度先由正到0.到负数.再到0.到正.故错误,质点在终点的速度是由大到小接近0.故错误,质点在开始时沿直线运动.故投影点的速度为常数.因此是错误的.故选. 题型3:函数的图象变换 例5.21. 设.函数. (Ⅰ)若是函数的极值点.求的值, (Ⅱ)若函数.在处取得最大值.求的取值范围. 解: (Ⅰ). 因为是函数的极值点.所以.即.因此. 经验证.当时.是函数的极值点.··············································· 4分 (Ⅱ)由题设.. 当在区间上的最大值为时. . 即. 故得.··············································································································· 9分 反之.当时.对任意. . 而.故在区间上的最大值为. 综上.的取值范围为.··············································································· 12分 点评:借助函数图像的变换规则解决实际问题. 例6.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数.且对任意实数都有 .则的值是 A. 0 B. C. 1 D. 答案 A 解析 若≠0.则有.取.则有: (∵是偶函数.则 )由此得于是 题型4:函数图象应用 例7.函数与的图像如下图:则函数的图像可能是( ) 解析:∵函数的定义域是函数与的定义域的交集.图像不经过坐标原点.故可以排除C.D. 由于当x为很小的正数时且.故.∴选A. 点评:明确函数图像在x轴上下方与函数值符号改变的关系.数值相乘“同号为正.异号为负 . 例8.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图.求b的范围. 解法一:观察f(x)的图象.可知函数f(x)的图象过原点.即f(0)=0,得d=0. 又f(x)的图象过(1.0). ∴f(x)=a+b+c ① 又有f(-1)<0.即-a+b-c<0 ② ①+②得b<0.故b的范围是 解法二:如图f(0)=0有三根0.1.2. ∴f(x)=ax3+bx2+cx+d=ax(x-1)(x-2)=ax3-3ax2+2ax. ∴b=-3a. ∵当x>2时.f(x)>0.从而有a>0. ∴b<0. 点评:通过观察函数图像.变形函数解析式.得参数的取值范围. 题型5:函数图像变换的应用 例9.已知.方程的实根个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.2或3或4 根据函数与方程的关系.知方程的根的个数即为函数与函数的图像交点的个数 该题通过作图很可能选错答案为A.这是我们作图的易错点.若作图标准的话.在同一个直角坐标系下画出这两个函数的图像.由图知当时.图像的交点个数为3个,当时.图像的交点个数为4个,当时.图像的交点个数为2个.选项为D. 点评:该题属于“数形结合 的题目.解题思路是将“函数的零点 问题转化为“函数的交点问题 .借助函数的图象以及函数的图象变换规则求得结果即可. 例10.设.若.且.则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:保留函数在x轴上方的图像.将其在x轴下方的图像翻折到x轴上方区即可得到函数的图像 通过观察图像.可知在区间上是减函数.在区间上是增函数.由.且可知.所以..从而.即.又.所以.选项为A. 点评:考察函数图像的翻折变换.体现了数学由简到繁的原则.通过研究函数的图像和性质.进而得到的图像和性质. 题型6:幂函数概念及性质 例11.函数互质)图像如图所示.则( ) A.均为奇数 B.一奇一偶 C.均为奇数 D.一奇一偶 解析:该题考察了幂函数的性质.由于幂函数在第一象限的图像趋势表明函数在上单调递减.此时只需保证.即.有,同时函数只在第一象限有图像.则函数的定义域为.此时定为偶数.即为偶数.由于两个数互质.则定为奇数 答案:选项为B. 点评:该题突破了传统借形言数思路.属于“由图形得解析式 的题目.为此需要分清幂函数在几种不同情况下函数的图像的特点.更甚至在同一种情形下取不同数值对函数图像的影响也要了解 例12.画出函数的图象.试分析其性质. 解析:先要找出它是哪一种函数平移而来的.它应是由反比例函数平移而来.(这种变换是解决这类问题的关键).由此说明.是由图象向右平移3个单位.再向下平移2个单位得到的.如图所示:具体画图时对于图象与坐标轴的交点位置要大致准确.即.故图象一定过和两个关键点. 再观察其图象可以得到如下性质:定义域.单调区间上单调递增,既不是奇函数也不是偶函数.但是图象是中心对称图形.对称中心是. 点评:幂函数的图象与性质是解决该类问题基础.注意此题两个增区间之间不能用并集号. 题型7:抽象函数问题 例13.函数的定义域为D:且满足对于任意.有 (Ⅰ)求的值, (Ⅱ)判断的奇偶性并证明, (Ⅲ)如果上是增函数.求x的取值范围. (Ⅰ)解:令 (Ⅱ)证明:令 令 ∴为偶函数. (Ⅲ) ∴ (1) ∵上是增函数. ∴(1)等价于不等式组: ∴ ∴x的取值范 围为 点评:以抽象函数为模型.考查函数概念.图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识.还考查运算能力和逻辑思维能力.认真分析处理好各知识的相互联系.抓住条件f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)找到问题的突破口.由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)变形为是解决问题的关键 例14.设函数 上满足.且在闭区间[0.7]上.只有 (Ⅰ)试判断函数的奇偶性, (Ⅱ)试求方程在闭区间[-2005.2005]上的根的个数.并证明你的结论 解析:(Ⅰ)由 . 从而知函数的周期为 又. .所以 故函数是非奇非偶函数, (II) 又 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解. 从而可知函数在[0,2005]上有402个解. 在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解. 点评:充分利用函数的数字特征.并将其转化为函数的性质.再来解题. 题型8:函数图象综合问题 例15.如图.点A.B.C都在函数y=的图象上.它们的横坐标分别是a.a+1.a+2.又A.B.C在x轴上的射影分别是A′.B′.C′,记△AB′C的面积为f(a).△A′BC′的面积为g(a). (1)求函数f(a)和g(a)的表达式, (2)比较f(a)与g(a)的大小.并证明你的结论 解: (1)连结AA′.BB′.CC′, 则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C-S△AA′B′-S△CC′B =(A′A+C′C)=(), g(a)=S△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=. ∴f(a)<g(a). 点评:本题考查函数的解析式.函数图象.识图能力.图形的组合等.充分借助图象信息.利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.解题思路:图形面积不会拆拼.数形结合.等价转化. 例16. 如图.要设计一张矩形广告.该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目.这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm.两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸.能使矩形广告面积最小? 本小题主要考查根据实际问题建立数学模型.以及运用函数.不等式等知识解决实际问题的能力. 解法1:设矩形栏目的高为a cm.宽为b cm.则ab=9000. ① 广告的高为a+20.宽为2b+25.其中a>0.b>0. 广告的面积S=(a+20)(2b+25) =2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b ≥18500+2=18500+ 当且仅当25a=40b时等号成立.此时b=,代入①式得a=120.从而b=75. 即当a=120.b=75时,S取得最小值24500. 故广告的高为140 cm,宽为175 cm时.可使广告的面积最小. 解法2:设广告的高为宽分别为x cm.y cm.则每栏的高和宽分别为x-20.其中x>20.y>25 两栏面积之和为2(x-20),由此得y= 广告的面积S=xy=x()=x, 整理得S= 因为x-20>0.所以S≥2 当且仅当时等号成立. 此时有(x-20)2=14400(x>20).解得x=140.代入y=+25,得y=175. 即当x=140.y=175时.S取得最小值24500. 故当广告的高为140 cm.宽为175 cm时.可使广告的面积最小. 点评:充分利用函数图像变换的原则.解决复合问题 查看更多

 

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