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    题型1:求轨迹方程 例1．(1)一动圆与圆外切.同时与圆内切.求动圆圆心的轨迹方程.并说明它是什么样的曲线. (2)双曲线有动点.是曲线的两个焦点.求的重心的轨迹方程. 解析:设动圆圆心为.半径为.设已知圆的圆心分别为.. 将圆方程分别配方得:.. 当与相切时.有 ① 当与相切时.有 ② 将①②两式的两边分别相加.得. 即 ③ 移项再两边分别平方得: ④ 两边再平方得:. 整理得. 所以.动圆圆心的轨迹方程是.轨迹是椭圆. 由解法一可得方程. 由以上方程知.动圆圆心到点和的距离和是常数.所以点的轨迹是焦点为..长轴长等于的椭圆.并且椭圆的中心在坐标原点.焦点在轴上. ∴..∴.. ∴. ∴圆心轨迹方程为. (2)如图.设点坐标各为.∴在已知双曲线方程中.∴ ∴已知双曲线两焦点为. ∵存在.∴ 由三角形重心坐标公式有.即 . ∵.∴. 已知点在双曲线上.将上面结果代入已知曲线方程.有 即所求重心的轨迹方程为:. 点评:定义法求轨迹方程的一般方法.步骤,“转移法 求轨迹方程的方法. 例2． 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由. 解(1)设椭圆G的方程为: ()半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为:. (2 )点的坐标为 (3)若.由可知点(6.0)在圆外. 若.由可知点在圆外, 不论K为何值圆都不能包围椭圆G. 题型2:圆锥曲线中最值和范围问题 例3．以知F是双曲线的左焦点.是双曲线右支上的动点.则的最小值为 . [解析]注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|＝2a＝4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|＝5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A.P.F’三点共线时等号成立. [答案]9 已知椭圆的左.右焦点分别为.若椭圆上存在一点使.则该椭圆的离心率的取值范围为 ． [解析1]因为在中.由正弦定理得 则由已知.得.即 设点由焦点半径公式.得则 记得由椭圆的几何性质知.整理得 解得.故椭圆的离心率 [解析2] 由解析1知由椭圆的定义知 .由椭圆的几何性质知所以以下同解析1. [答案] 已知直线和直线.抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D. [考点定位]本小题考查抛物线的定义.点到直线的距离.综合题. [解析1]直线为抛物线的准线.由抛物线的定义知.P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离.故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小.最小值为到直线的距离.即.故选择A. [解析2]如图.由题意可知 [答案]A 点评:由△PAF成立的条件.再延伸到特殊情形P.A.F共线.从而得出这一关键结论. 例4． 在平面直角坐标系中.抛物线C的顶点在原点.经过点A(2.2).其焦点F在轴上. (1)求抛物线C的标准方程, (2)求过点F.且与直线OA垂直的直线的方程, (3)设过点的直线交抛物线C于D.E两点.ME=2DM.记D和E两点间的距离为.求关于的表达式. 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E. (1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知,设直线与圆C:相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解(1)因为,,, 所以, 即. 当m=0时,方程表示两直线,方程为; 当时, 方程表示的是圆 当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线. (2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即, 要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=, 即,即, 且 , 要使, 需使,即, 所以, 即且, 即恒成立. 所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为,, 所求的圆为. 当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足. 综上, 存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且. (3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知, 即 ①, 因为与轨迹E只有一个公共点B1, 由(2)知得, 即有唯一解 则△=, 即, ② 由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 由 中,所以,, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以, 在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即 当时|A1B1|取得最大值,最大值为1. [命题立意]:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 题型3:证明问题和对称问题 例5．(1)如图.椭圆＝1B(0,1)的直线有且只有一个公共点T.且椭圆的离心率e=. (Ⅰ)求椭圆方程, (Ⅱ)设F.F分别为椭圆的左.右焦点.M为线段AF的中点.求证:∠ATM=∠AFT. 解 (1)由题意: .解得.所求椭圆方程为 已知椭圆()的两个焦点分别为.过点的直线与椭圆相交于点A,B两点.且 (Ⅰ求椭圆的离心率, (Ⅱ)直线AB的斜率, (Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称.直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上.求的值. 解 (1)由.得,从而 .整理得.故离心率 知..所以椭圆的方程可以写为 设直线AB的方程为即 由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理.得 依题意. 而.有题设知.点B为线段AE的中点. 所以 联立三式.解得.将结果代入韦达定理中解得. 知..当时.得A由已知得 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为 直线的方程为.于是点满足方程组 由.解得.故 当时.同理可得. 点评:本小题主要考查直线.圆和椭圆等平面解析几何的基础知识.考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力. (3)在平面直角坐标系O中.直线与抛物线＝2相交于A.B两点. ①求证:“如果直线过点T(3.0).那么＝3 是真命题, ②写出(1)中命题的逆命题.判断它是真命题还是假命题.并说明理由． 解析: 的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1).B(x12,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,).B(3,-).∴=3. 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x-3),其中k≠0. 当 y2=2x 得ky2-2y-6k=0,则y1y2=-6. y=k(x-3) 又∵x1=y, x2=y, ∴=x1x2+y1y2==3. 综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3 是真命题. ②逆命题是:设直线l交抛物线y2=2x于A.B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3, 直线AB的方程为Y=不在直线AB上. 点评:由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1).B(x12,y2)满足=3,可得y1y2=-6.或y1y2=2.如果y1y2=-6.可证得直线AB过点(3,0),如果y1y2=2, 可证得直线AB过点. 例6． 已知.椭圆C以过点A(1.).两个焦点为. (1) 求椭圆C的方程, (2) E,F是椭圆C上的两个动点.如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数.证明直线EF的斜率为定值.并求出这个定值. (Ⅰ)解 由题意.c＝1,可设椭圆方程为. 因为A在椭圆上.所以.解得＝3.＝. 所以椭圆方程为 ． (Ⅱ)证明 设直线AE方程:得.代入得 设E(.).F(.)．因为点A(1.)在椭圆上. 所以. . 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数.在上式中以代.可得 . . 所以直线EF的斜率. 即直线EF的斜率为定值.其值为. 已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D.椭圆的右顶点为.点和椭圆上位于轴上方的动点.直线.与直线 分别交于两点. (I)求椭圆的方程, (Ⅱ)求线段MN的长度的最小值, (Ⅲ)当线段MN的长度最小时.在椭圆上是否存在这样的点.使得的面积为?若存在.确定点的个数.若不存在.说明理由 解 方法一(I)由已知得.椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 (Ⅱ)直线AS的斜率显然存在.且.故可设直线的方程为. 从而 由得0 设则得.从而 即又 由得 故 又 当且仅当.即时等号成立 时.线段的长度取最小值 可知.当取最小值时. 此时的方程为 要使椭圆上存在点.使得的面积等于.只须到直线的距离等于.所以在平行于且与距离等于的直线上. 设直线 则由解得或 题型4:知识交汇题 例7．已知点,是抛物线上的两个动点,是坐标原点,向量,满足.设圆的方程为 (I) 证明线段是圆的直径; (II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为时.求p的值. 解析:(I)证明1: 整理得: 【查看更多】

     

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