19．(天津市武清区2009-2010学年高三下学期第一次模拟理) 如图在四棱锥P-ABCD中.底面ABCD是菱形.∠BAD=600.AB=2.PA=1,PA⊥平面ABCD.E是PC的中点.F是AB的中点. (1)求证:BE∥平面PDF, (2)求证:平面PDF⊥平面PAB, (3)求平面PAB与平面PCD所成的锐角. 证明:(1)取PD中点为M.连ME.MF ∵ E是PC的中点 ∴ ME是△PCD的中位线 ∴ MECD ∵ F是AB中点且由于ABCD是菱形.ABCD ∴ MEFB ∴ 四边形MEBF是平行四边形 ----2分 ∴ BE∥MF -------3分 ∵ BE平面PDF ,MF平面PDF ∴ BE∥平面PDF ---4分 (2)∵ PA⊥平面ABCD DF平面ABCD ∴ DF⊥PA -----5分 ∵ 底面ABCD是菱形.∠BAD=600 ∴ △DAB为正△ ∵ F是AB中点 ∴ DF⊥AB -----6分 ∵ PA.AB是平面PAB内的两条相交直线 ∴ DF⊥平面PAB ---7分 ∵ DF平面PDF ∴ 平面PDF⊥平面PAB ------8分 以A为原点.垂直于AD.AP的方向为x轴.AD.AP的方向分别为y轴.z轴建立空间直角坐标系.易知P.C(.3.0).D. F(..0)-------9分 由(2)知DF⊥平面PAB. ∴ =(.-.0)是平面PAB的一个法向量 ----10分 设平面PCD的一个法向量为 由·=·(.1.0)=0得x+y=0 由·==0得2y-z=0 在以上二式中令y=.则得x=-1.z=2 ∴ =(-1..2) -------11分 设平面PAB与平面PCD所成的锐角为θ ∴ cosθ=|cos＜.＞|= ∴θ=600 ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为600 ----12分 设平面PAB与平面PCD的交线为. ∵ CD∥AB.AB平面PAB.CD平面PAB ∴ CD∥平面PAB ∵ CD平面PCD ∴ CD∥ ∴ AB∥ -----9分 作FM⊥交于M.连MD.易知FM=AP=1 .DF= ----10分 由(2)知DF⊥AB ∴ ⊥DF ∵ FM.DF是平面MDF内的两条相交直线.∴ ⊥平面MDF ∴ ∠FMD就是平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的平面角 ----11分 在直角△FMD中.tan∠FMD= ∴ ∠FMD=600 ∴ 平面PAB与平面PCD所成的锐角为600 -------12分 【
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