[课题引入] 例:设a>b>c.a+b+c=1.a2+b2+c2=1.求证:1<a+b<. 证明:依题设有a+b=1-c, ① a2+b2=1-c2, ② ①2-②得ab=c2-c. ③ 由①.③两式说明:a.b是关于x的一元二次方程:x2-(1-c)x+c2-c=0.④的两个不相等的实根.且因为已知a>b>c.表明方程④的两根都大于c. 设f(x)=x2-(1-c)x+c2-c.∴.由①知.. 从该例中抽象出解题方法为:构造法.这也是我们今天要讲解的课题:用构造法解题.它在数学解题过程中有着较为广泛的应用. 构造法:就是根据题设条件和结论的特殊性.构造出一些新的数学形式.并借助它认识与解决原问题的一种思想方法. 用构造法解题的关键在于寻找到合理的数学模型. [例题部分] 例1 设x.y∈R.且满足.求x+y的值. 解:构造函数f(t)=t2003+2002t.易知f(t)是R上的奇函数也是单调函数.由此可得:f.∴f.∴x-1=2-y.∴x+y=3. 例2 四面体S-ABC的三组对棱分别相等.且依次为..5.试求四面体 S-ABC的体积. 解:如图1.构造长方体SA1CB1-S1AC1B .分别连结 SA.SB.SC.AB.BC.CA. 设长方体的三度分别为:... 令. 则有. 由图1.则四面体S-ABC的体积为长方体的体积减去四个等积的三棱锥体积. ∴=8. 例3 求方程a+b+c+d=6有多少组正整数解? 解:构造模式:有6个形状.大小.颜色完全相同的球分成四组.每组中至少有一个球的分法有多少种:○ ○ ○ ○ ○ ○. 该问题利用构造模型转化为了一个组合问题.实际上是在五个空中插入3个隔板.共 =10种正整数解. 例4 设x.y均为正实数.证明:不等式. 证明:① 当x=y时., ② 当x≠y时.不失一般性.设x>y>0.并取y=m.则x∈. 设gIn.即gln+mlnm. 又∵. ∵2x>x+m.∴.∴.∴g上单调递增.又g>0.即xlnx-(x+m)In+mlmm>0.∴.即. 综合①②知:有. 例5 对一切非零自然数n.求证: 证明: 构造数列{an}.使其通项为 又∵ . .∴ 对一切自然数n.都有an≥a1>1.即 ∴. 本题一般用数学归纳法证明.但应用构造思想求解.更有情趣.更见功力. [课堂小结] (1)用构造法解题.可构造表达式.构造图形等.在构造表达式中我们又可构造函数.构造数列等进行解题. (2)应用好构造法的关键有两点:① 要有明确的方向.即为什么目的而构造,② 要弄清条件的本质特点.以便重新进行逻辑组合. (3)运用构造法解题.关键在于寻找到合理的数学模型.一旦运用成功.它所呈现的是问题的本质规律和数学内在的美.往往给人耳目一新的感觉.同时也告诉我们大家数学是一门创造性的艺术.蕴含着丰富的美.而灵活.巧妙的构造令人拍手叫绝. 2007-11-20 【
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