原理:天体对它的卫星的引力就是卫星绕天体做匀速圆周运动的向心力. G=mr.由此可得:M=,ρ=== 由上式可知.只要用实验方法测出卫星做圆周运动的半径r及运行周期T.就可以算出天体的质量M.若知道行星的半径则可得行星的密度 规律方法 1.万有引力定律的基本应用 [例1]如图所示.在一个半径为R.质量为M的均匀球体中.紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后.对位于球心和空穴中心连线上.与球心相距d的质点m的引力是多大? 分析 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和.即可得解. 解 完整的均质球体对球外质点m的引力 这个引力可以看成是:m挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对质点的引力F2之和.即F=F1+F2.因半径为R/2的小球质量M/为. 则 所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力 说明 (1)有部分同学认为.如果先设法求出挖去球穴后的重心位置.然后把剩余部分的质量集中于这个重心上.应用万有引力公式求解.这是不正确的.万有引力存在于宇宙间任何两个物体之间.但计算万有引力的简单公式却只能适用于两个质点或均匀球体.挖去球穴后的剩余部分已不再是均匀球了.不能直接使用这个公式计算引力. (2)如果题中的球穴挖在大球的正中央.根据同样道理可得剩余部分对球外质点m的引力 上式表明.一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量集中于球心时对质点的引力一样. [例2]某物体在地面上受到的重力为160 N.将它放置在卫星中.在卫星以加速度a=½g随火箭加速上升的过程中.当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N时.求此时卫星距地球表面有多远?(地球半径R=6.4×103km,g取10m/s2) 解析:设此时火箭上升到离地球表面的高度为h.火箭上物体受到的支持力为N,物体受到的重力为mg/.据牛顿第二定律.N-mg/=ma--① 在h高处mg/=--② 在地球表面处mg=--③ 把②③代入①得 ∴=1.92×104 km. 说明:在本问题中.牢记基本思路,一是万有引力提供向心力.二是重力约等于万有引力. [例3]有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度.已知该单摆在海平面处的周期是T0.当气球停在某一高度时.测得该单摆周期为T.求该气球此时离海平面的高度h.把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体. 解析:根据单摆周期公式:其中l是单摆长度.g0和g分别是两地点的重力加速度.根据万有引力公式得其中G是引力常数.M是地球质量. 由以上各式解得 [例4]登月火箭关闭发动机在离月球表面112 km的空中沿圆形轨道运动.周期是120.5 min,月球的半径是1740 km,根据这组数据计算月球的质量和平均密度. 解析:设月球半径为R.月球质量为M.月球密度为ρ.登月火箭轨道离月球表面为h.运动周期为T.火箭质量为m.由GMm/r2=m4π2r/T2得M=4π2r3/(GT2).ρ=M/V.其中V=4π2R3/3.则F向=mω2r=m4π2(R+h)/T2.F引=GMm/(R+h)2.火箭沿轨道运行时有F引=F向.即GMm/(R+h)2= m4π2(R+h)/T2 故M=4π2(R+h)3/(GT2)2=7.2×1022kg,ρ=3M/4πR3=3.26×103kg/m3 [例5]已知火星上大气压是地球的1/200.火星直径约为球直径的一半.地球平均密度ρ地=5.5×103kg/m3.火星平均密度ρ火=4×103kg/m3.试求火星上大气质量与地球大气质量之比. 分析 包围天体的大气被吸向天体的力.就是作用在整个天体表面的大气压力.利用万有引力算出火星上和地球上的重力加速度之比.即可算出它们的大气质量之比. 解 设火星和地球上的大气质量.重力加速度分别为m火.g火.m地.g地.火星和地球上的大气压分别为据万有引力公式.火星和地球上的重力加速度分别为 综合上述三式得 [例6]一个宇航员在半径为R的星球上以初速度v0竖直上抛一物体.经ts后物体落回宇航员手中.为了使沿星球表面抛出的物体不再落回星球表面.抛出时的速度至少为多少? 解析:物体抛出后.受恒定的星球引力作用.做匀减速运动.遵循着在地面上竖直上抛时的同样规律.设星球对物体产生的“重力加速度 为gx.则由竖直上抛运动的公式得为使物体抛出后不再落回星球表面.应使它所受到的星球引力正好等于物体所需的向心力.即成为卫星发射了出去..这个速度即是这个星球上发射卫星的第一宇宙速度. [例7]在“勇气 号火星探测器着陆的最后阶段.着陆器降落到火星表面上.再经过多次弹跳才停下来. 假设着陆器第一次落到火星表面弹起后.到达最高点时高度为h.速度方向是水平的.速度大小为v0.求它第二次落到火星表面时速度的大小.计算时不计大气阻力.已知火星的一个卫星的圆轨道半径为r.周期为T.火星可视为半径为r0的均匀球体. 分析:第一次落到火星表面弹起在竖直方向相当于竖直上抛.在最高点由于只有水平速度故将做平抛运动.第二次落到火星表面时速度应按平抛处理.无论是竖直上抛还是平抛的计算.均要知道火星表面的重力加速度g/.利用火星的一个卫星的相关数据可以求出g/. 解:设火星的一个卫星质量为m.任一物体的质量为m/.在火星表面的重力加速度为g/.火星的质量为M. 任一物体在火星表面有:--① 火星的卫星应满足:--② 第一次落到火星表面弹起在竖直方向满足:v12=2g/h--③ 第二次落到火星表面时速度应按平抛处理:--④ 由以上4式可解得2.讨论天体运动规律的基本思路 基本方法:把天体的运动看成是匀速圆周运动.其所需向心力由万有引力提供. [例8]2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星.其定点位置与东经980的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似为东经980和北纬α=400.已知地球半径R.地球自转周期T,地球表面重力加速度g和光速c.试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间(要求用题给的已知量的符号表示). 解析:设m为卫星质量.M为地球质量.r为卫星到地球中心的距离.ω为卫星绕地心转动的角速度.由万有引力定律和牛顿定律有.式中G为万有引力恒量.因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等.有ω=2π/T,因.得GM=gR2. 设嘉峪关到同步卫星的距离为L.如图所示.由余弦定律得: 所求的时间为t=L/c. 由以上各式得 [例9]在天体运动中.将两颗彼此相距较近的行星称为双星.它们在相互的万有引力作用下间距保持不变.并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动.如果双星间距为L.质量分别为M1和M2.试计算:双星的运行周期,(3)双星的线速度. 解析:因为双星受到同样大小的万有引力作用.且保持距离不变.绕同一圆心做匀速圆周运动.所以具有周期.频率和角速度均相同,而轨道半径.线速度不同的特点. (1)根据万有引力定律 可得: (2)同理.还有 所以.周期为 (3)根据线速度公式. [例10]兴趣小组成员共同协作.完成了下面的两个实验:①当飞船停留在距X星球一定高度的P点时.正对着X星球发射一个激光脉冲.经时间t1后收到反射回来的信号.此时观察X星球的视角为θ.如图所示.②当飞船在X星球表面着陆后.把一个弹射器固定在星球表面上.竖直向上弹射一个小球.经测定小球从弹射到落回的时间为t2. 已知用上述弹射器在地球上做同样实验时.小球在空中运动的时间为t.又已知地球表面重力加速度为g.万有引力常量为G.光速为c.地球和X星球的自转以及它们对物体的大气阻力均可不计.试根据以上信息.求: X星球的质量M,(3)X星球的第一宇宙速度v, (4)在X星球发射的卫星的最小周期T. 解析:(1)由题设中图示可知: (R+½ct1)sinθ=R.∴R= (2)在X星球上以v0竖直上抛t2=.在地球上以v0竖直上抛:t=..又由. (3)mg'= (4)当v达第一宇宙速度时.有最小周期T. [例11]天体运动的演变猜想.在研究宇宙发展演变的理论中.有一种说法叫做“宇宙膨胀说 .认为引力常量在慢慢减小.根据这种理论.试分析现在太阳系中地球的公转轨道平径.周期.速率与很久很久以前相比变化的情况. [解析]地球在半径为R的圆形轨道上以速率v运动的过程中.引力常数G减小了一个微小量.万有 引力公式.由于太阳质量M,地球质量m,r均未改变.万有引力F引必然随之减小.并小于公转轨道上该点所需的向心力.由于惯性.地球将做离心运动.即向外偏离太阳.半径r增大.地球在远离太阳的过程中.在太阳引力的作用下引起速率v减小.运转周期增大.由此可以判断.在很久很久以前.太阳系中地球的公转轨道半径比现在小.周期比现在小.速率比现在大. 由引力常量G在慢慢减小的前提可以分析出太阳系中地球的公转轨道半径在慢慢变大.表明宇宙在不断地膨胀. 试题展示 散 专题:人造天体的运动 知识简析 一.卫星的绕行角速度.周期与高度的关系 (1)由.得.∴当h↑.v↓ (2)由G=mω2(r+h).得ω=.∴当h↑.ω↓ (3)由G.得T= ∴当h↑.T↑ 查看更多

 

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