已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若P（x₀，y₀）为f(x)=

ax

x2+b

图象上任意一点，直线l与f(x)=

ax

x2+b

的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

已知函数f(x)=

1

3

x3-(a+1)x2+4ax，（（a∈R））．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值；
（Ⅱ）若常数a＜1，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；
（Ⅲ）已知a=0，求证：对任意的m、n，当m＜n≤1时，总存在实数t∈（m，n），使不等式f（m）+f（n）＜2f（t）成立．

已知函数f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0）．
（1）函数f（x）在区间(0，

1

2

)上单调递增，在区间(

1

2

，1)上单调递减，求实数m的值；
（2）当x∈[-1，1]时，函数f（x）的图象上的任意一点切线的斜率恒大于3m，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=

mx3

3

+ax2+(1-b2)x，m，a，b∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的导函数f′（x）；
（Ⅱ）当m=1时，若函数f（x）是R上的增函数，求z=a+b的最小值；
（Ⅲ）当a=1，b=

2

时，函数f（x）在（2，+∞）上存在单调递增区间，求m的取值范围．