6．复合函数:若y=f,xÎ,那么y=f[g(x)]称为复合函数.u称为中间变量.它的取值范围是g(x)的值域题型讲解例1设集合..如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与它在中——青夏教育精英家教网—

6．复合函数:若y=f,xÎ,那么y=f[g(x)]称为复合函数.u称为中间变量.它的取值范围是g(x)的值域题型讲解例1设集合..如果从到的映射满足条件:对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数.则映射的个数是( ) A8个 B12个 C16个 D18个解:∵为奇数.∴当为奇数.时.它们在中的象只能为偶数.或.由分步计数原理和对应方法有种,而当时.它在中的象为奇数或.共有种对应方法．故映射的个数是．故选D 例2 集合A={3.4}.B={5.6.7}.那么可建立从A到B的映射个数是 .从B到A的映射个数是解:从A到B可分两步进行:第一步A中的元素3可有3种对应方法.第二步A中的元素4也有这3种对应方法由乘法原理.不同的映射种数N1＝3×3＝9反之从B到A.道理相同.有N2＝2×2×2＝8种不同映射答案:9 8 例3 A={1.2.3.4.5}.B={6.7.8}从集合A到B的映射中满足f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)≤f(5)的映射有( ) A27 B9 C21 D12 解:(1)当全是等号时.(即与B中的一个元素对应).则f有C个; (2)有一个不等号时的映射(即与B中的两个元素对应).f有C·C=12个; (3)有二个不等号的映射.f有C·C=6个所以共有3+12+6=21个.答案选C 另一种解释法:将元素1.2.3.4.5按照从小到大的顺序串成一串之间有4个节点若只有一个象就让这一串整体对应有C＝3种方法, 若恰有两个象就将这一串分为两段.并按照大小顺序对应.有C·C＝12种方法, 若恰有三个象就将这一串分为三段.并按照大小顺序对应.有C·C＝6种方法根据分类计数原理.共有3+12+6=21个映射故选C 例4 试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=.g(x)=, (2)f(x)=.g(x)= (3)f(x)=.g(x)=()2n-1(n∈N*), (4)f(x)=.g(x)=, (5)f(x)=x2-2x-1.g(t)=t2-2t-1 剖析:对于两个函数y=f(x)和y=g(x).当且仅当它们的定义域.值域.对应法则都相同时.y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数若两个函数表示同一函数.则它们的图象完全相同.反之亦然解:(1)由于f(x)==|x|.g(x)==x.故它们的值域及对应法则都不相同.所以它们不是同一函数 (2)由于函数f(x)=的定义域为.而g(x)=的定义域为R.所以它们不是同一函数 (3)由于当n∈N*时.2n±1为奇数.∴f(x)==x.g(x)=()2n-1=x.它们的定义域.值域及对应法则都相同.所以它们是同一函数 (4)由于函数f(x)=的定义域为{x|x≥0}.而g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0}.它们的定义域不同.所以它们不是同一函数 (5)函数的定义域.值域和对应法则都相同.所以它们是同一函数评述:小题易错判断成它们是不同的函数.原因是对函数的概念理解不透要知道.在函数的定义域及对应法则f不变的条件下.自变量变换字母.以至变换成其他字母的表达式.这对于函数本身并无影响.比如f(x)=x2+1.f(t)=t2+1.f(u+1)=(u+1)2+1都可视为同一函数 (2)对于两个函数来讲.只要函数的三要素中有一要素不相同.则这两个函数就不可能是同一函数例5 某种细胞分裂时.由1个分裂成2个.2个分裂成4个.-.一直分裂下去． (1) 用列表表示.1个细胞分裂1.2.3.4.5.6.7.8次后.得到的细胞个数, (2)用图像表示1个细胞分裂的次数n(nÎN+)与得到的细胞个数y之间的关系, 解:(1) 利用正整指数幂的运算法则.可以算出1个细胞分裂1.2.3.4.5.6.7.8次后.得到的细胞个数.列表如下分裂次数 1 2 3 4 5 6 7 8 细胞个数 2 4 8 16 32 64 128 256 (2)细胞个数y与分裂次数n之间的关系式是 y＝2n.nÎN+．变式: 一种专门占据内存的计算机病毒.开机时占据内存KB.然后每分钟自身复制一次.复制后所占内存是原来的倍.那么开机后经过分钟.该病毒占据MB内存(MB=KB) 例6试构造一个函数.使得对一切有恒成立.但是既不是奇函数又不是偶函数.则可以是解:的图像部分关于原点对称.部分关于轴对称.如．点评本题是一道开放题.你能给出其它的答案吗?请不妨一试．例7 某厂生产一种仪器.由于受生产能力和技术水平的限制.会产生一些次品．根据经验知道.该厂生产这种仪器.次品率与日产量(件)之间大体满足关系: (其中c为小于96的正常数) 注:次品率.如表示每生产10件产品.约有1件为次品．其余为合格品．已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元.但每生产一件次品将亏损元.故厂方希望定出合适的日产量． (1)试将生产这种仪器每天的盈利额(元)表示为日产量(件)的函数, (2)当日产量为多少时.可获得最大利润? 解:(1)当时..所以.每天的盈利额; 当时.. 所以.每日生产的合格仪器约有件.次品约有件．故.每天的盈利额综上.日盈利额(元)与日产量(件)的函数关系为: 知.当时.每天的盈利额为0．当时.．令.则．故．当且仅当.即时.等号成立．所以(i)当时.(等号当且仅当时成立)． (ii) 当时.由得. 易证函数在上单调递增．所以.．所以. . 即．(等号当且仅当时取得) 综上.若.则当日产量为88件时.可获得最大利润,若.则当日产量为时.可获得最大利润．点评分段函数是历年高考的热门话题.常考常新.值得我们在复课时认真对待．例8 矩形的长.宽.动点.分别在.上.且.(1)将的面积表示为的函数.求函数的解析式, (2)求的最大值．解:(1) ． ∵.∴. ∴函数的解析式:, (2)∵在上单调递增. ∴.即的最大值为．例9 函数对一切实数.均有成立.且. (1)求的值, (2)对任意的..都有成立时.求的取值范围．解:(1)由已知等式. 令.得. 又∵.∴． (2)由. 令得. 由(1)知.∴． ∵. ∴在上单调递增. ∴．要使任意.都有成立. 当时.,显然不成立．当时..∴.解得 ∴的取值范围是．学生练习题组一: 1设集合A=R.集合B=正实数集.则从集合A到集合B的映射f只可能是 Af:x→y=|x| Bf:x→y= Cf:x→y=3-x Df:x→y=log2(1+|x|) 解析:指数函数的定义域是R.值域是.所以f是x→y=3-x 答案:C 2设M={x|-2≤x≤2}.N={y|0≤y≤2}.函数f(x)的定义域为M.值域为N.则f(x)的图象可以是解析:A项定义域为［-2.0］.D项值域不是［0.2］.C项对任一x都有两个y与之对应.都不符故选B 答案:B 3已知函数f(x)=lg.若f(a)=b.则f(-a)等于 Ab B-b C D- 解析:f(-a)=lg=-lg=-f(a)=-b 答案: B 4函数y=的定义域是 A［-.-1)∪(1.］ B(-.-1)∪(1.) C［-2.-1)∪(1.2］ D 解析:-≤x＜-1或1＜x≤ ∴y=的定义域为［-.-1)∪(1.］答案:A 5若函数f(x)=loga(x+1)(a＞0.a≠1)的定义域和值域都是［0.1］.则a等于 A B C D2 解析:f(x)=loga(x+1)的定义域是［0.1］. ∴0≤x≤1.则1≤x+1≤2 当a＞1时.0=loga1≤loga(x+1)≤loga2=1.∴a=2, 当0＜a＜1时.loga2≤loga(x+1)≤loga1=0.与值域是［0.1］矛盾综上.a=2 答案:D 6设集合A和B都是自然数集合N.映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n.则在映射f下.象20的原象是 A2 B3 C4 D5 解析:由2n+n＝20求n.用代入法可知选C 答案:C 7某种型号的手机自投放市场以来.经过两次降价.单价由原来的2000元降到1280元.则这种手机平均每次降价的百分率是 A10% B15% C18% D20% 解析:设降价百分率为x%. ∴2000(1-x%)2=1280解得x=20 答案:D 8设函数f(x)=则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为 A(-∞.-2］∪［0.10］ B(-∞.-2］∪［0.1］ C(-∞.-2］∪［1.10］ D［-2.0］∪［1.10］解析:f(x)是分段函数.故f(x)≥1应分段求解当x＜1时.f(x)≥1(x+1)2≥1x≤-2或x≥0. ∴x≤-2或0≤x＜1 当x≥1时.f(x)≥14-≥1≤3x≤10. ∴1≤x≤10 综上所述.x≤-2或0≤x≤10 答案:A 9已知f(x)=则不等式xf(x)+x≤2的解集是解析:x≥0时.f(x)=1.xf(x)+x≤2x≤1.∴0≤x≤1, 当x＜0时.f(x)=0.xf(x)+x≤2x≤2.∴x＜0综上x≤1 答案:{x|x≤1} 10已知函数y=logx与y=kx的图象有公共点A.且A点的横坐标为2.则k的值等于 A- B C- D 解析:由点A在y=logx的图象上可求出A点纵坐标y=log2=-又A(2.-)在y=kx图象上.-=k·2.∴k=- 答案:A 11如图.在边长为4的正方形ABCD上有一点P.沿着折线BCDA由B点向A点移动.设P点移动的路程为x.△ABP的面积为y=f(x) (1)求△ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式, (2)作出函数的图象.并根据图象求y的最大值解:(1)这个函数的定义域为当0＜x≤4时.S=f(x)=·4·x=2x, 当4＜x≤8时.S=f(x)=8, 当8＜x＜12时.S=f(x)=·4·(12-x)=2(12-x)=24-2x ∴这个函数的解析式为 f(x)= (2)其图形如右. 由图知.［f(x)］max=8 12若f :y=3x+1是从集合A={1.2.3.k}到集合B={4.7.a4.a2+3a}的一个映射.求自然数a.k的值及集合A.B 解:∵f(1)=3×1+1=4.f(2)=3×2+1=7.f(3)=3×3+1=10.f(k)=3k+1.由映射的定义知 (1)或(2) ∵a∈N.∴方程组(1)无解解方程组(2).得a=2或a=-5(舍).3k+1=16.3k=15.k=5 ∴A={1.2.3.5}.B={4.7.10.16} 13如果函数f(x)=(x+a)3对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1-x).试求f(2)+ f(-2)的值解:∵对任意x∈R.总有f(1+x)=-f(1-x). ∴当x=0时应有f(1+0)=-f(1-0). 即f(1)=-f(1)∴f(1)=0 又∵f(x)=(x+a)3.∴f(1)=(1+a)3 故有(1+a)3＝0a=-1∴f(x)=(x-1)3 ∴f(2)+f3+3＝13+(-3)3＝-26 14集合M={a.b.c}.N={-1.0.1}.映射f:M→N满足f(a)+f(b)+f(c)=0.那么映射f:M→N的个数是多少? 解:∵f(a)∈N.f(b)∈N.f(c)∈N.且f(a)+f(b)+f(c)=0. ∴有0+0+0=0+1+(-1)=0 当f(a)=f(b)=f(c)=0时.只有一个映射, 当f(a).f(b).f(c)中恰有一个为0.而另两个分别为1.-1时.有C·A=6个映射因此所求的映射的个数为1+6=7 题组二: 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，又g（1）=0，f（

）=2-

（1）求f（x）的表达式及值域；
（2）问是否存在实数m，使得命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

)＞

满足复合命题p且q为真命题？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

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已知函数f(x)=ax+b

1+x2