定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于A、B两点，则线段AB成为该双曲线的焦点弦．已知双曲线-=1，那么过改双曲线的左焦点，长度为整数且不超过2012的焦点弦条数是

我们常用定义解决与圆锥曲线有关的问题．如“设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的弦AB，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，试证

1

r1

+

1

r2

为定值”．
证明如下：不妨设A在x轴的上方，在△ABC中，由椭圆的定义及余弦定理得，（2a-r₁）²=r₁²+4c²-4cr₁cosθ，∴r1=

b2

a-ccosθ

，
同理r2=

b2

a-ccos(π-θ)

=

b2

a+ccosθ

，于是

1

r

1+

1

r

2=

2a

b2

．请用类似的方法探索：设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，过左焦点F₁作倾斜角为θ的直线与双曲线右支交于点A，左支交于点B，设|F₁A|=r₁，|F₁B|=r₂，是否有类似的结论成立，请写出与定值有关的结论是______．．

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为x²-y²=1，过点M(-

3

，0)且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N₁、N₂两点，求△ON₁N₂的面积（O为坐标原点）
（3）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程．

（2013•松江区一模）对于双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，定义C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B．
（1）当a＞b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C₁的半焦距为c₁，若c=2c₁，求双曲线C的渐近线方程；
（2）若双曲线C的方程为

x2

4

-

y2

2

=1，弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程；
（3）过双曲线C：x²-y²=1的左焦点F，且斜率为k的直线l与双曲线C交于N₁、N₂两点，求证：对任意的k∈[-2-

1

4

，2-

1

4

]，在伴随曲线C₁上总存在点S，使得

FN1

•

FN2

=

FS

2．