例1 已知正三棱锥的底面边长为.过作截面垂直侧棱于.且此截面与底面成的二面角.求此三棱锥的侧面积．解:作底面.垂足为.则是中心. 连结并延长交与.连结. 则..∴面.. ∴是二面角的平面角.——青夏教育精英家教网—

例1 已知正三棱锥的底面边长为.过作截面垂直侧棱于.且此截面与底面成的二面角.求此三棱锥的侧面积．解:作底面.垂足为.则是中心. 连结并延长交与.连结. 则..∴面.. ∴是二面角的平面角. ∵面... . 在中.. ．例2．已知正三棱锥的高为.一个侧面三角形的面积为.求这个正三棱锥的侧面和底面所成的二面角解:设正三棱锥.高.. 作于.连接. 由三垂线定理知. 为所求的侧面和底面所成的二面角的平面角. 设.则.又. ∴．.∴．由.得..∴所求二面角为．例3．如图.正四棱锥中.所有棱长都是.为的中点. (1)求二面角的大小, (2)如果点在棱上.那么直线与能否垂直? 请说明理由解:(1)取的中点.连结. 是正三角形. ∴ . ∴是二面角的平面角. 在中.. ∴. 故二面角的大小为． (2)设.以射线分别为轴建立空间直角坐标系.设. 则.. ..∴与不可能垂直说明:证明线线垂直可以建系证明或用三垂线定理证明例4．已知三棱锥中...⊥平面.. 分别是上的动点.且. (Ⅰ)求证:不论为何值.总有平面⊥平面, (Ⅱ)当为何值时.平面⊥平面? 证(Ⅰ)∵平面.∴. ∵.且.∴平面. 又∵(). ∴不论为何值.恒有.∴平面.平面. ∴不论为何值恒有平面⊥平面．知..又要平面平面. ∴平面.∴. ∵... ∴. ∴.由得. ∴. 故当时.平面平面．例5．如图.在棱锥中.侧面是边长为2的正三角形.且与底面垂直.底面是菱形.且.为的中点. (Ⅰ)求证:,(Ⅱ)求二面角的大小, (Ⅲ)求证:平面平面．分析:(Ⅲ)中平面与平面的公共棱不明显.因而可证明其中一个平面内的某一直线垂直于另一个平面．证明:(Ⅰ)取中点.连结. ∵侧面是边长为的正三角形.∴. ∵侧面底面.∴底面. 在中... ∴.由三垂线定理知． (Ⅱ)∵...∴平面. ∵.∴平面.∴是二面角的平面角. ∵.∴... ∴二面角为． (Ⅲ)取中点.连结.则.又.∴. 又∵平面.平面..∴. 又∵.且.平面.平面. ∴平面平面．【查看更多】

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已知正三棱锥S－ABC的高为3，底面边长为6，过点A向它所对的侧面SBC作垂线，垂足为O，在AO上取一点P，使=8，则过P且平行于底面的截面的面积为______.