(一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积(单位:)与半径(单位:)之间的函数关系是 如果将半径表示为体积的函数,那么 分析: (1)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 (2)当从增加到时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 和的平均速度 在这段时间里, 在这段时间里, 探究: 计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考以下问题: (1)运动员在这段时间内使静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程: 如图是函数的图像, 结合图形可知,,所以 虽然运动员在这段时间里的平均速度为, 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止, 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

建立数学模型一般都要经历下列过程:从实际情境中提出问题,建立数学模型,通过计算或推导得到结果,结合实际情况进行检验.如果合乎实际,就得到可以应用的结果,否则重新审视问题的提出、建模、计算和推导得到结果的过程,直到得到合乎实际的结果为止.请设计一个流程图表示这一过程.

 

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学习三角函数一章时,课堂上老师给出这样一个结论:当时,有sinx<x<tanx恒成立,当老师把这个证明完成时,

(Ⅰ)学生甲提出问题:能否在不等式sinx<x的左边增加一个量,使不等号的方向得以改变?下面请同学们证明:若,则成立;

(Ⅱ)当学生甲的问题完成时,学生乙提问:对于不等式x<tanx是否也有相似的结论?下面请同学们探讨:若,是否存在实数m,使x+mx3>tanx恒成立?如果存在,求出m的一个值;如果不存在,请说明理由.

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(1)已知函数f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,试求a的取值范围;
②写出一组数a,x0(x0≠3,保留4位有效数字),使得f(x0)<0成立;
(2)在曲线y=x-
2
x
上存在两个不同点关于直线y=x对称,求出其坐标;若曲线y=x+
p
x
(p≠0)上存在两个不同点关于直线y=x对称,求实数p的范围;
(3)当0<a<1时,就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题,并取a=
1
16
a=
2
2
加以研究.当0<a<1时,就函数y=ax与y=logax的图象的交点情况提出你的问题,并加以解决.(说明:①函数f(x)=xlnx有如下性质:在区间(0,
1
e
]
上单调递减,在区间[
1
e
,1)
上单调递增.解题过程中可以利用;②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分.)

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(2009•崇明县二模)设椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个顶点坐标为A(0,-
2
),且其右焦点到直线y-x-2
2
=0
的距离为3.
(1)求椭圆C的轨迹方程;
(2)若A、B是椭圆C上的不同两点,弦AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点M,则称弦AB是点M的一条“相关弦”,如果点M的坐标为M(
1
2
,0
),求证点M的所有“相关弦”的中点在同一条直线上;
(3)根据解决问题(2)的经验与体会,请运用类比、推广等思想方法,提出一个与“相关弦”有关的具有研究价值的结论,并加以解决.(本小题将根据所提出问题的层次性给予不同的分值)

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(2008•崇明县一模)已知:函数fn(x)(n∈N*)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),其中f1(x)=x+1+
1
x
,并且当n>1且n∈N*时,满足fn(x)-fn-1(x)=xn+
1
xn

(1)求函数fn(x)(n∈N*)的解析式;
(2)当n=1,2,3时,分别研究函数fn(x)的单调性与值域;
(3)借助(2)的研究过程或研究结论,提出一个类似(2)的研究问题,并写出问题的研究过程与研究结论.
【第(3)小题将根据你所提出问题的质量,以及解决所提出问题的情况进行分层评分】

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同步练习册答案