例1如图.已知正方形ABCD的边长为4.E.F分别是AB.AD的中点.GC⊥平面ABCD.且GC＝2.求点B到平面EFG的距离．分析:由题设可知CG.CB.CD两两互相垂直.可以由此建立空间直角坐——青夏教育精英家教网—

例1如图.已知正方形ABCD的边长为4.E.F分别是AB.AD的中点.GC⊥平面ABCD.且GC＝2.求点B到平面EFG的距离．分析:由题设可知CG.CB.CD两两互相垂直.可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解.就是求出过B且垂直于平面EFG的向量.它的长即为点B到平面EFG的距离．解:如图.设4i.4j.2k. 以i.j.k为坐标向量建立空间直角坐标系C-xyz．由题设C.B.E.G． ∴ .. .. ．设平面EFG.M为垂足.则M.G.E.F四点共面.由共面向量定理知.存在实数a.b.c.使得. ∴ ＝(2a+4b,-2b-4c,2c)．由平面EFG.得..于是 .． ∴ 整理得:.解得． ∴ ＝(2a+4b,-2b-4c,2c)＝． ∴ 故点B到平面EFG的距离为．说明:用向量法求点到平面的距离.常常不必作出垂线段.只需利用垂足在平面内.共面向量定理.两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．例2 已知正方体ABCD-的棱长为1.求直线与AC的距离．分析:设异面直线.AC的公垂线是直线l.则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段.所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．解:如图.设i.j.k.以i.j.k为坐标向量建立空间直角坐标系-xyz. 则有...． ∴ ..．设n是直线l方向上的单位向量.则． ∵ n.n. ∴ .解得或．取n.则向量在直线l上的投影为 n··．由两个向量的数量积的几何意义知.直线与AC的距离为．例3 如图.已知线段AB在平面α内.线段.线段BD⊥AB.线段..如果AB＝a.AC＝BD＝b.求C.D间的距离．解:由.可知．由可知.＜＞＝. ∴＝＝+++2(++) ＝＝． ∴．小结:选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底.并用它表示指定的向量.是用向量知识解决立体几何问题的基本要领．解题中要结合已知和未知去观察图形.联想有关的运算法则和公式等.就近表示所需的向量.再对照目标将不符合要求的向量加以调整.如此反复.直至所有向量符合目标要求．例4．如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内已知:a∥α.AÎa.AÎb且a∥b 求证:bÌa 证明:假设bËa过A点和a确定平面为b. b∩a=b1.b1Ìa.AÎb1 ∵a∥α ∴a∥b1 由a∥b而b.b1都过点A 这样.在平面a内过A有两条直线b和b1都平行于a 这是不可能的 ∴bÌa 例5．正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直.点M.N分别在对角线AC和BF上.且AM=FN 求证:MN∥平面BEC 分析:证线面平行Ü线线平行.需找出面BEC中与MN平行的直线证法(一):作NK∥AB交BE于K.作MH∥AB交BC于H ∴MH∥NK ∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN 又∠HCM=∠KBN.∠HMC=∠KNB ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN是平行四边形 ∴MN∥HK ∵HKÌ平面BEC MNË平面BEC ∴MN∥平面BEC 证法(二):分析:利用面面平行Þ线面平行过N作NP∥BE.连MP.∵NP∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN.AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE ∴MN∥平面BCE 例6．在三棱锥P-ABC中.三条侧棱PA.PB.PC两两垂直.H是△ABC的垂心求证:⑴PH^底面ABC ⑵△ABC是锐角三角形证明:⑴∵PA^PB PA^PC且PB∩PC=P ∴PA^侧面PBC 又∵BCÌ平面PBD ∴PA^BC ∵H是△ABC的垂心 ∴AH^BC ∵PA∩AH=A ∴BC^截面PAH 又PHÌ平面PAH ∴BC^PH 同理可证:AB^PH 又ABÇBC=B ∴PH^面ABC ⑵设AH与直线BC的交点为E.连接PE 由⑴知PH^底面ABC ∴AE为PE在平面ABC的射影由三垂线定理:PE^BC ∵PB^PC即△BPC是直角三角形.BC为斜边 ∴E在BC边上由于AE^BC.故B∠C都是锐角同理可证:∠A也是锐角 ∴△ABC为锐角三角形例7．正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面三条对角线AB1.BC1.CA1中.AB1^BC1 求证:AB1^CA1 证明:取AB.A1B1中点D.D1连接CD.C1D1及A1D.BD1 由三棱柱可知.面A1B1C1^面AB1 在正△A1B1C1中.C1D1^A1B1 ∴C1D1^面AB1 (同理CD^面AB1) ∴BD1是BC1在平面AB1内的射影 ∵AB1^BC1 ∴AB1^BD1 ∵BD1∥AD1 ∴AB1^A1D 且AD1是A1C在平面AB1内的射影 ∴AB1^A1C 例8．在正四棱柱AC1中.底面边长为1.侧棱长为2. ⑴求D1B1与平面A1BCD1所成的角 ⑵求B1到平面A1BC1的距离分析:⑴按定义需作B1D1在平面A1BCD1上的射影.那麽在此平面上射影的位置该落何处.这就是要考虑垂足的定位问题常用方法:⑴ 过B1作A1B的垂线B1EÞB1E^平面A1BCD1 ⑵ 过B1作平面A1BCD1的垂线ÞB1EÌ平面A1BCD1ÞEÎA1B (3) 在垂面内做垂线解:⑴ BC^AB , BC^BB1 ∴BC^面A1B∴面A1C^面A1B 过B1作B1E^A1B=E ∴B1E^平面A1BCD1 连D1E.则D1E是B1D1在平面A1BCD1上的射影故∠ B1D1E即B1D1与平面A1BCD1所成的角且在Rt△ B1ED1中.B1E=A1B1*B1B/A1B= ∴Sin∠ B1D1E= (2)解一:正方形A1B1C1D1中 , 等腰ΔBA1C1中A1C1^ B1D1 ,BO^ A1C1 ∴A1C1^面B1BO ∴面A1C1B^面B1BO ∴过B1作高线BO垂线 B1 H^ BO于H 则B1 H^面A1C1B 连A1C1.过B1作平面A1BC1的垂线.垂足为H.则B1H的长即点B1到平面A1BC1的距离. 由正棱柱性质:B1A1.B1C1.B1B两两垂直∴H是△A1BC1的垂心连BO则BO^A1C1 ∴HÎBO ∵B1B^底面A1C1 ∴B1B^B1O.B1H^BO B1H= (OB=) 即顶点B1到截面A1BC1的距离为解二:考察四面体B1A1BC1 设顶点B1到A1BC1的距离为h 则为三棱柱B1-A1BC1的高 VB1-A1BC1=VB-ABC1 ∴*S△A1BC1*h=*S△A1BC1*B1B ∵A1C1^BO ∴**A1C1*BO*h=**A1B1*B1C1*BB1 ∴B到平面A1BC1的距离为【查看更多】

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