函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导,导函数f′(x)是减函数,且f′(x)＞0,设x₀∈(0,+∞),y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x₀,f(x₀))处的切线方程,并设函数g(x)=kx+m.

(1)用x₀、f(x₀)、f′(x₀)表示m;

(2)证明当x₀∈(0,+∞)时,g(x)≥f(x);

(3)若关于x的不等式x²+1≥ax+b≥在上恒成立,其中a、b为实数，求b的取值范围及a与b 所满足的关系.

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c为实数，且a≠0），F(x)=

f(x) ，&x＞0 -f(x)，?x＜0.

（1）若f（-1）=0，曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，求F（x）的表达式；
（2）在（Ⅰ）在条件下，当时，，求实数k的取值范围；
（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，证明F（m）+F（n）＞0．

设函数f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x+5（a，b∈R，a＞0）的定义域为R，当x=x₁时，取得极大值；当x=x₂时取得极小值，|x₁|＜2且|x₁-x₂|=4．
（1）求证：x₁x₂＞0；
（2）求证：（b-1）²=16a²+4a；
（3）求实数b的取值范围．