（14分）

（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M_太。

（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶S，试计算地球的质M_地。（G=6.67×10^-11Nm²/kg²，结果保留一位有效数字）

【解析】：（1）因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r。根据万有引力定律和牛顿第二定律有

                            ①

    于是有                           ②

即                                ③

（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由②式可得

                                ④

解得     M_地=6×10²⁴kg                         ⑤

（M_地=5×10²⁴kg也算对）

23．【题文】（16分）

     如图所示，在以坐标原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B，磁场方向垂直于xOy平面向里。一带正电的粒子（不计重力）从O点沿y轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t₀时间从P点射出。

（1）求电场强度的大小和方向。

（2）若仅撤去磁场，带电粒子仍从O点以相同的速度射入，经时间恰从半圆形区域的边界射出。求粒子运动加速度的大小。

（3）若仅撤去电场，带电粒子仍从O点射入，且速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间。

如图2所示,两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.05 T的匀强磁场与导轨所在平面垂直(图中未画出)，导轨的电阻很小，可忽略不计.导轨间的距离l=0.20 m.两根质量均为m=0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻均为R=0.50 Ω.在t=0时刻，两杆都处于静止状态.现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动.经过t=5.0 s，金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s².问此时两金属杆的速度各为多少？?

图2

【解析】设t=5.0 s时两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v₁和v₂,经过很短的时间Δt,杆甲移动距离v₁Δt,杆乙移动距离v₂Δt,回路面积改变ΔS=［(x-v₂Δt)+v₁Δt］l-lx=(v₁-v₂)lΔt.由法拉第电磁感应定律知,回路中的感应电动势回路中的电流

对杆甲由牛顿第二定律有F-BlI=ma

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以t=5.0 s时两杆的动量(t=0时为0)等于外力F的冲量Ft=mv₁+mv₂

联立以上各式解得

代入数据得v₁=8.15 m/s,v₂=1.85 m/s.

如图2所示,两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.05 T的匀强磁场与导轨所在平面垂直(图中未画出)，导轨的电阻很小，可忽略不计.导轨间的距离l=0.20 m.两根质量均为m=0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻均为R=0.50 Ω.在t=0时刻，两杆都处于静止状态.现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动.经过t=5.0 s，金属杆甲的加速度为a=1.37 m/s².问此时两金属杆的速度各为多少？?

图2

【解析】设t=5.0 s时两金属杆甲、乙之间的距离为x,速度分别为v₁和v₂,经过很短的时间Δt,杆甲移动距离v₁Δt,杆乙移动距离v₂Δt,回路面积改变ΔS=［(x-v₂Δt)+v₁Δt］l-lx=(v₁-v₂)lΔt.由法拉第电磁感应定律知,回路中的感应电动势回路中的电流

对杆甲由牛顿第二定律有F-BlI=ma

由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反,所以t=5.0 s时两杆的动量(t=0时为0)等于外力F的冲量Ft=mv₁+mv₂

联立以上各式解得

代入数据得v₁=8.15 m/s,v₂=1.85 m/s.

如图所示，真空中有一以（r，0）为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感强度大小为B,方向垂直纸面向里.磁场的上方有两等大的平行金属板MN，两板间距离为2r.从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内.当质子进入两板间时两板间可立即加上如图所示的电压，且电压从t=0开始变化,电压的最大值为,已知质子的电荷量为e，质量为m，质子在磁场中的偏转半径也为r，不计重力,求：

（1）质子进入磁场时的速度大小;

（2）若质子沿x轴正方向射入磁场，到达M板所需的时间为多少?

（3）若质子沿与x轴正方向成某一角度θ的速度射入磁场时，粒子离开磁场后能够平行于金属板进入两板间，求θ的范围以及质子打到M板时距坐标原点O的距离。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由牛顿第二定律： …………（1分）

解得： ………………（1分）

（2）如图：质子在磁场运动周期，………………（2分）

进入MN间

在0到时间内，质子不受电场力………………（1分）

在到T时间内，质子受的电场力。  ………………（1分）

 ………………（1分）   ………………（1分）

 ………………（1分）         ………………（1分）

因此

如图所示，真空中有一以（r，0）为圆心、半径为r的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感强度大小为B,方向垂直纸面向里.磁场的上方有两等大的平行金属板MN，两板间距离为2r.从O点向不同方向发射速率相同的质子，质子的运动轨迹均在纸面内.当质子进入两板间时两板间可立即加上如图所示的电压，且电压从t=0开始变化,电压的最大值为,已知质子的电荷量为e，质量为m，质子在磁场中的偏转半径也为r，不计重力,求：

（1）质子进入磁场时的速度大小;

（2）若质子沿x轴正方向射入磁场，到达M板所需的时间为多少?

（3）若质子沿与x轴正方向成某一角度θ的速度射入磁场时，粒子离开磁场后能够平行于金属板进入两板间，求θ的范围以及质子打到M板时距坐标原点O的距离。

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由牛顿第二定律： …………（1分）

解得： ………………（1分）

（2）如图：质子在磁场运动周期，………………（2分）

进入MN间

在0到时间内，质子不受电场力………………（1分）

在到T时间内，质子受的电场力。  ………………（1分）

 ………………（1分）   ………………（1分）

 ………………（1分）         ………………（1分）

因此