题型1:指数运算例1．(1)计算:, (2)化简:. 解:(1)原式= , (2)原式= . 点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式.然后利用分数指数幂的运算性质求解.——青夏教育精英家教网—

题型1:指数运算例1．(1)计算:, (2)化简:. 解:(1)原式= , (2)原式= . 点评:根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式.然后利用分数指数幂的运算性质求解.对化简求值的结果.一般用分数指数幂的形式保留,一般的进行指数幂运算时.化负指数为正指数.化根式为分数指数幂.化小数为分数运算.同时兼顾运算的顺序. 例2．已知.求的值. 解:∵. ∴. ∴. ∴. ∴. ∴. 又∵. ∴. 点评:本题直接代入条件求解繁琐.故应先化简变形.创造条件简化运算. 题型2:对数运算例3．计算 (1),(2), (3). 解:(1)原式 , (2)原式 , (3)分子=, 分母=, 原式=. 点评:这是一组很基本的对数运算的练习题.虽然在考试中这些运算要求并不高.但是数式运算是学习数学的基本功.通过这样的运算练习熟练掌握运算公式.法则.以及学习数式变换的各种技巧. 例4．设..为正数.且满足 (1)求证:, (2)若..求..的值. 证明:(1)左边 , 解:(2)由得. ∴-----① 由得---- -----② 由①②得--------------③ 由①得.代入得. ∵. ∴------------④ 由③.④解得..从而. 点评:对于含对数因式的证明和求值问题.还是以对数运算法则为主.将代数式化简到最见形式再来处理即可. 题型3:指数.对数方程例5．设关于的方程R). (1)若方程有实数解.求实数b的取值范围, (2)当方程有实数解时.讨论方程实根的个数.并求出方程的解. 解:(1)原方程为. . 时方程有实数解, (2)①当时..∴方程有唯一解, ②当时.. 的解为, 令的解为, 综合①.②.得 1)当时原方程有两解:, 2)当时.原方程有唯一解, 3)当时.原方程无解. 点评:具有一些综合性的指数.对数问题.问题的解答涉及指数.对数函数.二次函数.参数讨论.方程讨论等各种基本能力.这也是指数.对数问题的特点.题型非常广泛.应通过解题学习不断积累经验. 例6．方程的解为 . 解:考察对数运算.原方程变形为.即.得.且有.从而结果为. 点评:上面两例是关于含指数式.对数式等式的形式.解题思路是转化为不含指数.对数因式的普通等式或方程的形式.再来求解. 题型4:指数函数的概念与性质例7．设( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解:C,.. 点评:利用指数函数.对数函数的概念.求解函数的值. 例8．已知试求函数f(x)的单调区间. 解:令.则x=.t∈R. 所以即.(x∈R). 因为f(-x)=f(x).所以f(x)为偶函数.故只需讨论f(x)在[0.+∞)上的单调性. 任取..且使.则 (1)当a>1时.由.有..所以.即f(x)在[0.+∞]上单调递增. (2)当0<a<1时.由.有..所以.即f(x)在[0.+∞]上单调递增. 综合所述.[0.+∞]是f(x)的单调增区间.是f(x)的单调区间. 点评:求解含指数式的函数的定义域.值域.甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理.特别是分两种情况来处理. 题型5:指数函数的图像与应用例9．若函数的图象与x轴有公共点.则m的取值范围是( ) A．m≤-1 B．-1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1 解:. 画图象可知-1≤m<0. 答案为B. 点评:本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征.解题的出发点仍然是两种情况下函数的图像特征. 例10．设函数的取值范围. 解:由于是增函数.等价于 ① 1)当时..①式恒成立, 2)当时..①式化为.即, 3)当时..①式无解, 综上的取值范围是. 点评:处理含有指数式的不等式问题.借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题(一元一次.一元二次不等式)来处理. 题型6:对数函数的概念与性质例11．(1)函数的定义域是( ) A． B． C． D．设f(x)＝.则的定义域为( ) A． B．(1.4) C．(1.2) D．(2.4) 解:(1)D(2)B. 点评:求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围.在对数函数中只有真数大于零时才有意义.对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系. 例12．对于. (1)函数的“定义域为R 和“值域为R 是否是一回事, (2)结合“实数a的取何值时在上有意义与“实数a的取何值时函数的定义域为说明求“有意义问题与求“定义域问题的区别, 两问.说明实数a的取何值时的值域为 (4)实数a的取何值时在内是增函数. 解:记.则, (1)不一样, 定义域为R恒成立. 得:.解得实数a的取值范围为. 值域为R:值域为R至少取遍所有的正实数. 则.解得实数a的取值范围为. (2)实数a的取何值时在上有意义: 命题等价于对于任意恒成立. 则或. 解得实数a得取值范围为. 实数a的取何值时函数的定义域为: 由已知得二次不等式的解集为可得.则a=2.故a的取值范围为{2}. 区别:“有意义问题正好转化成“恒成立问题来处理.而“定义域问题刚好转化成“取遍所有问题来解决(这里转化成了解集问题.即取遍解集内所有的数值) (3)易知得值域是.又得值域是. 得.故a得取值范围为{-1.1}. (4)命题等价于在上为减函数.且对任意的恒成立.则.解得a得取值范围为. 点评:该题主要考察复合对数函数的定义域.值域以及单调性问题.解题过程中遇到了恒成立问题.“恒为正与“取遍所有大于零的数不等价.同时又考察了一元二次函数函数值的分布情况.解题过程中结合三个“二次的重要结论来进行处理. 题型7:对数函数的图像及应用例13．当a>1时.函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是( ) 解:当a>1时.函数y=logax的图象只能在A和C中选. 又a>1时.y=(1-a)x为减函数. 答案:B 点评:要正确识别函数图像.一是熟悉各种基本函数的图像.二是把握图像的性质.根据图像的性质去判断.如过定点.定义域.值域.单调性.奇偶性. 例14．设A.B是函数y= log2x图象上两点, 其横坐标分别为a和a+4, 直线l: x=a+2与函数y= log2x图象交于点C, 与直线AB交于点D. (1)求点D的坐标, (2)当△ABC的面积大于1时, 求实数a的取值范围. 解:(1)易知D为线段AB的中点, 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4)). 所以由中点公式得D(a+2, log2 ). (2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=-= log2, 其中A′,B′,C′为A,B,C在x轴上的射影. 由S△ABC= log2>1, 得0< a<2-2. 点评:解题过程中用到了对数函数性质.注意底数分类来处理.根据函数的性质来处理复杂问题. 题型8:指数函数.对数函数综合问题例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),-,Pn(an,bn)-.对每个自然数n点Pn位于函数y=2000()x(0<a<1)的图象上.且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形. (1)求点Pn的纵坐标bn的表达式, (2)若对于每个自然数n.以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形.求a的取值范围, (3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数.问数列{Cn}前多少项的和最大?试说明理由. 解:(1)由题意知:an=n+,∴bn=2000(). (2)∵函数y=2000()x(0<a<10)递减. ∴对每个自然数n,有bn>bn+1>bn+2. 则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn. 即()2+()-1>0. 解得a<-5(1+)或a>5(-1). ∴5(-1)<a<10. (3)∵5(-1)<a<10.∴a=7 ∴bn=2000().数列{bn}是一个递减的正数数列. 对每个自然数n≥2,Bn=bnBn-1. 于是当bn≥1时.Bn<Bn-1.当bn<1时.Bn≤Bn-1. 因此数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1<1. 由bn=2000()≥1得:n≤20. ∴n=20. 点评:本题题设从函数图像入手.体现数形结合的优越性.最终还是根据函数性质结合数列知识.以及三角形的面积解决了实际问题. 例16．已知函数为常数) (1)求函数f(x)的定义域, (2)若a=2.试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性. (3)若函数y=f(x)是增函数.求a的取值范围. 解:(1)由 ∵a＞0.x≥0 ∴f(x)的定义域是. (2)若a=2.则设 . 则故f(x)为增函数. (3)设 ① ∵f(x)是增函数. ∴f(x1)＞f(x2) 即 ② 联立①.②知a＞1. ∴a∈. 点评:该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题.我们抓住对数函数的特点.结合一般函数求定义域.单调性的解题思路.对“路处理即可. 题型9:课标创新题例17．对于在区间上有意义的两个函数f(x)与g(x).如果对任意的.均有.则称f(x)与g(x)在上是接近的.否则称f(x)与g(x)在上是非接近的.现有两个函数与.给定区间. (1)若与在给定区间上都有意义.求a的取值范围, (2)讨论与在给定区间上是否是接近的. 解:(1)两个函数与在给定区间有意义.因为函数给定区间上单调递增.函数在给定区间上恒为正数. 故有意义当且仅当, (2)构造函数. 对于函数来讲. 显然其在上单调递减.在上单调递增. 且在其定义域内一定是减函数. 由于.得所以原函数在区间内单调递减.只需保证当时.与在区间上是接近的, 当时.与在区间上是非接近的. 点评:该题属于信息给予的题目.考生首先理解“接近与“非接近的含义.再对含有对数式的函数的是否“接近进行研究.转化成含有对数因式的不等式问题.解不等式即可. 例18．设..且.求的最小值. 解:令 . ∵..∴. 由得.∴. ∴.∵.∴.即.∴. ∴. ∵.∴当时.. 点评:对数函数结合不等式知识处理最值问题.这是出题的一个亮点.同时考察了学生的变形能力. 【查看更多】

题目列表(包括答案和解析)

定义闭集合S：若a，b∈S，则a+b∈S，a-b∈S．
（1）举一例，真包含于R的无限闭集合；
（2）求证：对任意两个比集合S₁，S₂，S₁⊆R，S₂⊆R，存在c∈R，但c∉S₁∪S₂．

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已知0＜a＜1，定义运算m※n=

m(m≤n)

n(m＞n)

，若a^2x※（a^x+6）＞1，则实数x的取值范围是

（-∞，0）

．

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（2013•闵行区二模）用二分法研究方程x³+3x-1=0的近似解x=x₀，借助计算器经过若干次运算得下表：