放缩法一般包括:用缩小分母.扩大分子.分式值增大,缩小分子.扩大分母.分式值缩小,全量不少于部分,每一次缩小其和变小.但需大于所求.第一次扩大其和变大.但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头.同时放缩后便于求和. 典型例题十一 例11 已知.求证:. 分析:欲证不等式看起来较为“复杂 .宜将它化为较“简单 的形式.因而用分析法证明较好. 证明:欲证. 只须证. 即要证. 即要证. 即要证. 即要证. 即要证.即. 即要证 (*) ∵.∴(*)显然成立. 故 说明:分析法证明不等式.实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“欲证--只要证--即证--已知 的格式. 典型例题十二 例12 如果...求证:. 分析:注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态.而右边却结合在一起.因而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能.由.易得.此式的外形特征符合要求.因此.我们用如下的结合法证明. 证明:∵ . ∴. 说明:分析时也可以认为是连续应用基本不等式而得到的.左右两边都是三项.实质上是公式的连续使用. 如果原题限定...则不等式可作如下变形:进一步可得到:. 显然其证明过程仍然可套用原题的思路.但比原题要难.因为发现思路还要有一个转化的过程. 典型例题十三 例13 已知...求证:在三数中.不可能都大于. 分析:此命题的形式为否定式.宜采用反证法证明.假设命题不成立.则三数都大于.从这个结论出发.进一步去导出矛盾. 证明:假设三数都大于. 即... 又∵... ∴... ∴ ① 又∵... 以上三式相加.即得: ② 显然①与②相矛盾.假设不成立.故命题获证. 说明:一般情况下.如果命题中有“至多 .“至少 .“都 等字样.通常情况下要用反证法.反证法的关键在于“归谬 .同时.在反证法的证明过程中.也贯穿了分析法和综合法的解题思想. 典型例题十四 例14 已知..都是正数.求证:. 分析:用分析法去找一找证题的突破口.要证原不等式.只需证.即只需证.把变为.问题就解决了.或有分析法的途径.也很容易用综合法的形式写出证明过程. 证法一:要证. 只需证. 即.移项.得. 由..为正数.得. ∴原不等式成立. 证法二:∵..为正数. . 即.故. . . 说明:题中给出的....只因为..都是正数.形式同算术平均数与几何平均数定理一样.不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证.问题就不好解决了. 原不等式中是用“不大于 连结.应该知道取等号的条件.本题当且仅当时取“= 号.证明不等式不论采用何种方法.仅仅是一个手段或形式问题.我们必须掌握证题的关键.本题的关键是证明. 典型例题十五 例15 已知..且.求证:. 分析:记.欲证.联想到正.余弦函数的值域.本题采用三角换元.借助三角函数的变换手段将很方便.由条件.可换元.围绕公式来进行. 证明:令..且. 则 ∵.∴.即成立. 说明:换元的思想随处可见.这里用的是三角代换法.这种代换如能将其几何意义挖掘出来.对代换实质的认识将会深刻得多.常用的换元法有:(1)若.可设,(2)若.可设..,(3)若.可设..且. 典型例题十六 例16 已知是不等于1的正数.是正整数.求证. 分析:从求证的不等式看.左边是两项式的积.且各项均为正.右边有2的因子.因此可考虑使用均值不等式. 证明:∵是不等于1的正数. ∴. ∴. ① 又. ② 将式①.②两边分别相乘得 . ∴. 说明:本题看起来很复杂.但根据题中特点.选择综合法求证非常顺利.由特点选方法是解题的关键.这里因为.所以等号不成立.又因为①.②两个不等式两边均为正.所以可利用不等式的同向乘性证得结果.这也是今后解题中要注意的问题. 典型例题十七 例17 已知....且.求证. 分析:从本题结构和特点看.使用比较法和综合法都难以奏效.为找出使不等式成立的充分条件不妨先用分析法一试.待思路清晰后.再决定证题方法. 证明:要证. 只需证. 只需证. ∵... ∴... ∴. ∴成立. ∴. 说明:此题若一味地用分析法去做.难以得到结果.在题中得到只需证后.思路已较清晰.这时改用综合法.是一种好的做法.通过此例可以看出.用分析法寻求不等式的证明途径时.有时还要与比较法.综合法等结合运用.决不可把某种方法看成是孤立的. 典型例题十八 例18 求证. 分析:此题的难度在于.所求证不等式的左端有多项和且难以合并.右边只有一项.注意到这是一个严格不等式.为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律.这只需从下手考查即可. 证明:∵. ∴. 说明:此题证明过程并不复杂.但思路难寻.本题所采用的方法也是解不等式时常用的一种方法.即放缩法.这类题目灵活多样.需要巧妙变形.问题才能化隐为显.这里变形的这一步极为关键. 典型例题十九 例19 在中.角..的对边分别为...若.求证. 分析:因为涉及到三角形的边角关系.故可用正弦定理或余弦定理进行边角的转化. 证明:∵.∴. 由余弦定理得 ∴. ∴ = 说明:三角形中最常使用的两个定理就是正弦和余弦定理.另外还有面积公式.本题应用知识较为丰富.变形较多.这种综合.变形能力需要读者在平时解题时体会和总结.证明不等式的能力和直觉需要长期培养. 查看更多

 

题目列表(包括答案和解析)

由下列不等式:,你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.

【解析】根据观察得出一般不等式,然后用数学归纳法证明,注意放缩法的应用.

 

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已知an=
1×2
+
2×3
+
3×4
+…+
n(n+1)
(n∈N*),用放缩法证明:
n(n+1)
2
<an
n(n+2)
2
.(提示:
n(n+1)
>n 且
n(n+1)
n+(n+1)
2

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(本小题满分14分,每小题7分)

(Ⅰ)设函数,如果,求的取值范围.

(Ⅱ)用放缩法证明不等式:

 

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用放缩法证明下列不等式:

(1)若tanθ=ntanφ(tanθ≠0,n>0),则tan2(θ-φ)≤;

(2)已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证:1<<2.

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用放缩法证明:若nNn>2,则logn(n-1)logn(n+1)<1。

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同步练习册答案